Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71617 / 76226
↖ ↑ ↗
← S 28.154347°
E 16.701966°		 ← 269.23 m → S 28.154347°
E 16.704712°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
S 28.156768°
E 16.701966°		 ← 269.23 m →
72 487 m²		 S 28.156768°
E 16.704712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546398162841797 y=0.581562042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546398162841797 × 217)
    floor (0.546398162841797 × 131072)
    floor (71617.5)     		tx = 71617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581562042236328 × 217)
    floor (0.581562042236328 × 131072)
    floor (76226.5)     		ty = 76226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71617 / 76226 ti = "17/71617/76226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71617/76226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71617 ÷ 217
    71617 ÷ 131072     		x = 0.546394348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76226 ÷ 217
    76226 ÷ 131072     		y = 0.581558227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546394348144531 × 2 - 1) × π
    0.0927886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29150429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581558227539062 × 2 - 1) × π
    -0.163116455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.5124454569384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29150429} λ = 0.29150429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5124454569384))-π/2
    2×atan(0.599028886829557)-π/2
    2×0.53970514053548-π/2
    1.07941028107096-1.57079632675     		φ = -0.49138605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29150429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.701966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49138605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.154347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71617 KachelY 76226 0.29150429 -0.49138605 16.701966 -28.154347
    Oben rechts KachelX + 1 71618 KachelY 76226 0.29155222 -0.49138605 16.704712 -28.154347
    Unten links KachelX 71617 KachelY + 1 76227 0.29150429 -0.49142831 16.701966 -28.156768
    Unten rechts KachelX + 1 71618 KachelY + 1 76227 0.29155222 -0.49142831 16.704712 -28.156768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49138605--0.49142831) × R
    4.22599999999607e-05 × 6371000     		dl = 269.238459999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49138605--0.49142831) × R
    4.22599999999607e-05 × 6371000     		dr = 269.238459999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29150429-0.29155222) × cos(-0.49138605) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881679700266728 × 6371000     		do = 269.231503083092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29150429-0.29155222) × cos(-0.49142831) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881659759166339 × 6371000     		du = 269.225413828197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49138605)-sin(-0.49142831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881679700266728-0.881659759166339)×R²
    abs(0.29155222-0.29150429)×1.99411003887207e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99411003887207e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99411003887207e-05×40589641000000     		ar = 72486.655553461m²