Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7161 / 9273
↖ ↑ ↗
← N 77.997048°
W140.663452°		 ← 127.03 m → N 77.997048°
W140.657959°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
N 77.995905°
W140.663452°		 ← 127.05 m →
16 139 m²		 N 77.995905°
W140.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109275817871094 y=0.141502380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109275817871094 × 216)
    floor (0.109275817871094 × 65536)
    floor (7161.5)     		tx = 7161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141502380371094 × 216)
    floor (0.141502380371094 × 65536)
    floor (9273.5)     		ty = 9273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7161 / 9273 ti = "16/7161/9273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7161/9273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7161 ÷ 216
    7161 ÷ 65536     		x = 0.109268188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9273 ÷ 216
    9273 ÷ 65536     		y = 0.141494750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109268188476562 × 2 - 1) × π
    -0.781463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45504038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141494750976562 × 2 - 1) × π
    0.717010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25255491314644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45504038} λ = -2.45504038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25255491314644))-π/2
    2×atan(9.5120071697484)-π/2
    2×1.4660508092013-π/2
    2.9321016184026-1.57079632675     		φ = 1.36130529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45504038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.663452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36130529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.997048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7161 KachelY 9273 -2.45504038 1.36130529 -140.663452 77.997048
    Oben rechts KachelX + 1 7162 KachelY 9273 -2.45494450 1.36130529 -140.657959 77.997048
    Unten links KachelX 7161 KachelY + 1 9274 -2.45504038 1.36128535 -140.663452 77.995905
    Unten rechts KachelX + 1 7162 KachelY + 1 9274 -2.45494450 1.36128535 -140.657959 77.995905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36130529-1.36128535) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36130529-1.36128535) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45504038--2.45494450) × cos(1.36130529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207962091118448 × 6371000     		do = 127.033951143515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45504038--2.45494450) × cos(1.36128535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207981595126619 × 6371000     		du = 127.045865195773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36130529)-sin(1.36128535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207962091118448-0.207981595126619)×R²
    abs(-2.45494450--2.45504038)×1.9504008171578e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9504008171578e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9504008171578e-05×40589641000000     		ar = 16138.8628242041m²