Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7161 / 9201
↖ ↑ ↗
← N 78.079021°
W140.663452°		 ← 126.18 m → N 78.079021°
W140.657959°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
N 78.077887°
W140.663452°		 ← 126.19 m →
15 918 m²		 N 78.077887°
W140.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109275817871094 y=0.140403747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109275817871094 × 216)
    floor (0.109275817871094 × 65536)
    floor (7161.5)     		tx = 7161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140403747558594 × 216)
    floor (0.140403747558594 × 65536)
    floor (9201.5)     		ty = 9201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7161 / 9201 ti = "16/7161/9201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7161/9201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7161 ÷ 216
    7161 ÷ 65536     		x = 0.109268188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9201 ÷ 216
    9201 ÷ 65536     		y = 0.140396118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109268188476562 × 2 - 1) × π
    -0.781463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45504038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140396118164062 × 2 - 1) × π
    0.719207763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25945782669173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45504038} λ = -2.45504038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25945782669173))-π/2
    2×atan(9.57789487983646)-π/2
    2×1.46676616336707-π/2
    2.93353232673414-1.57079632675     		φ = 1.36273600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45504038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.663452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36273600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.079021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7161 KachelY 9201 -2.45504038 1.36273600 -140.663452 78.079021
    Oben rechts KachelX + 1 7162 KachelY 9201 -2.45494450 1.36273600 -140.657959 78.079021
    Unten links KachelX 7161 KachelY + 1 9202 -2.45504038 1.36271620 -140.663452 78.077887
    Unten rechts KachelX + 1 7162 KachelY + 1 9202 -2.45494450 1.36271620 -140.657959 78.077887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36273600-1.36271620) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36273600-1.36271620) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45504038--2.45494450) × cos(1.36273600) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20656244852904 × 6371000     		do = 126.178977396305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45504038--2.45494450) × cos(1.36271620) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206581821470239 × 6371000     		du = 126.190811386109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36273600)-sin(1.36271620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20656244852904-0.206581821470239)×R²
    abs(-2.45494450--2.45504038)×1.93729411989418e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93729411989418e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93729411989418e-05×40589641000000     		ar = 15917.6944516304m²