Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7161 / 5511
↖ ↑ ↗
← N 50.639010°
W 22.653809°		 ← 1 549.54 m → N 50.639010°
W 22.631836°		 →
↑
1 549.75 m
↓
↑
1 549.75 m
↓
N 50.625073°
W 22.653809°		 ← 1 550 m →
2 401 745 m²		 N 50.625073°
W 22.631836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437103271484375 y=0.336395263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437103271484375 × 214)
    floor (0.437103271484375 × 16384)
    floor (7161.5)     		tx = 7161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336395263671875 × 214)
    floor (0.336395263671875 × 16384)
    floor (5511.5)     		ty = 5511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7161 / 5511 ti = "14/7161/5511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7161/5511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7161 ÷ 214
    7161 ÷ 16384     		x = 0.43707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5511 ÷ 214
    5511 ÷ 16384     		y = 0.33636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1258544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39538355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33636474609375 × 2 - 1) × π
    0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39538355} λ = -0.39538355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02815062305096))-π/2
    2×atan(2.79589039525594)-π/2
    2×1.22730689306774-π/2
    2.45461378613548-1.57079632675     		φ = 0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39538355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.653809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7161 KachelY 5511 -0.39538355 0.88381746 -22.653809 50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 7162 KachelY 5511 -0.39500005 0.88381746 -22.631836 50.639010
    Unten links KachelX 7161 KachelY + 1 5512 -0.39538355 0.88357421 -22.653809 50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 7162 KachelY + 1 5512 -0.39500005 0.88357421 -22.631836 50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88381746-0.88357421) × R
    0.000243250000000028 × 6371000     		dl = 1549.74575000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88381746-0.88357421) × R
    0.000243250000000028 × 6371000     		dr = 1549.74575000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39538355--0.39500005) × cos(0.88381746) × R
    0.000383499999999981 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 1549.53759374851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39538355--0.39500005) × cos(0.88357421) × R
    0.000383499999999981 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 1549.99706144869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88381746)-sin(0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.39500005--0.39538355)×0.0001880537565353×R²
    0.000383499999999981×0.0001880537565353×6371000²
    0.000383499999999981×0.0001880537565353×40589641000000     		ar = 2401745.34127724m²