Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71602 / 63221
↖ ↑ ↗
← N  6.345327°
E 16.660766°		 ← 303.55 m → N  6.345327°
E 16.663513°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.342597°
E 16.660766°		 ← 303.56 m →
92 133 m²		 N  6.342597°
E 16.663513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546283721923828 y=0.482341766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546283721923828 × 217)
    floor (0.546283721923828 × 131072)
    floor (71602.5)     		tx = 71602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482341766357422 × 217)
    floor (0.482341766357422 × 131072)
    floor (63221.5)     		ty = 63221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71602 / 63221 ti = "17/71602/63221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71602/63221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71602 ÷ 217
    71602 ÷ 131072     		x = 0.546279907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63221 ÷ 217
    63221 ÷ 131072     		y = 0.482337951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546279907226562 × 2 - 1) × π
    0.092559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29078523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482337951660156 × 2 - 1) × π
    0.0353240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.11097392262043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29078523} λ = 0.29078523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11097392262043))-π/2
    2×atan(1.11736576850327)-π/2
    2×0.840771585155761-π/2
    1.68154317031152-1.57079632675     		φ = 0.11074684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29078523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.660766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11074684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.345327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71602 KachelY 63221 0.29078523 0.11074684 16.660766 6.345327
    Oben rechts KachelX + 1 71603 KachelY 63221 0.29083317 0.11074684 16.663513 6.345327
    Unten links KachelX 71602 KachelY + 1 63222 0.29078523 0.11069920 16.660766 6.342597
    Unten rechts KachelX + 1 71603 KachelY + 1 63222 0.29083317 0.11069920 16.663513 6.342597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11074684-0.11069920) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11074684-0.11069920) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29078523-0.29083317) × cos(0.11074684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993873833938695 × 6371000     		do = 303.554651197164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29078523-0.29083317) × cos(0.11069920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993879098012069 × 6371000     		du = 303.55625898067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11074684)-sin(0.11069920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993873833938695-0.993879098012069)×R²
    abs(0.29083317-0.29078523)×5.26407337397838e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.26407337397838e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.26407337397838e-06×40589641000000     		ar = 92133.4639776825m²