Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7160 / 5249
↖ ↑ ↗
← N 76.514257°
W101.337891°		 ← 284.89 m → N 76.514257°
W101.326904°		 →
↑
284.91 m
↓
↑
284.91 m
↓
N 76.511695°
W101.337891°		 ← 284.94 m →
81 176 m²		 N 76.511695°
W101.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218521118164062 y=0.160202026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218521118164062 × 215)
    floor (0.218521118164062 × 32768)
    floor (7160.5)     		tx = 7160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160202026367188 × 215)
    floor (0.160202026367188 × 32768)
    floor (5249.5)     		ty = 5249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7160 / 5249 ti = "15/7160/5249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7160/5249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7160 ÷ 215
    7160 ÷ 32768     		x = 0.218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5249 ÷ 215
    5249 ÷ 32768     		y = 0.160186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160186767578125 × 2 - 1) × π
    0.67962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1351095090773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76867985} λ = -1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1351095090773))-π/2
    2×atan(8.45797268093252)-π/2
    2×1.4531110186582-π/2
    2.90622203731641-1.57079632675     		φ = 1.33542571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33542571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.514257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7160 KachelY 5249 -1.76867985 1.33542571 -101.337891 76.514257
    Oben rechts KachelX + 1 7161 KachelY 5249 -1.76848810 1.33542571 -101.326904 76.514257
    Unten links KachelX 7160 KachelY + 1 5250 -1.76867985 1.33538099 -101.337891 76.511695
    Unten rechts KachelX + 1 7161 KachelY + 1 5250 -1.76848810 1.33538099 -101.326904 76.511695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33542571-1.33538099) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dl = 284.911119999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33542571-1.33538099) × R
    4.47199999999981e-05 × 6371000     		dr = 284.911119999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76867985--1.76848810) × cos(1.33542571) × R
    0.000191750000000157 × 0.233203399661057 × 6371000     		do = 284.890426259617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76867985--1.76848810) × cos(1.33538099) × R
    0.000191750000000157 × 0.233246886407075 × 6371000     		du = 284.943551375408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33542571)-sin(1.33538099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233203399661057-0.233246886407075)×R²
    abs(-1.76848810--1.76867985)×4.34867460182009e-05×R²
    0.000191750000000157×4.34867460182009e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.34867460182009e-05×40589641000000     		ar = 81176.0184040883m²