Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7160 / 5144
↖ ↑ ↗
← N 76.780655°
W101.337891°		 ← 279.36 m → N 76.780655°
W101.326904°		 →
↑
279.37 m
↓
↑
279.37 m
↓
N 76.778142°
W101.337891°		 ← 279.42 m →
78 053 m²		 N 76.778142°
W101.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218521118164062 y=0.156997680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218521118164062 × 215)
    floor (0.218521118164062 × 32768)
    floor (7160.5)     		tx = 7160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156997680664062 × 215)
    floor (0.156997680664062 × 32768)
    floor (5144.5)     		ty = 5144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7160 / 5144 ti = "15/7160/5144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7160/5144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7160 ÷ 215
    7160 ÷ 32768     		x = 0.218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5144 ÷ 215
    5144 ÷ 32768     		y = 0.156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    0.68603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15524300691772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76867985} λ = -1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15524300691772))-π/2
    2×atan(8.62998707073689)-π/2
    2×1.45543577845478-π/2
    2.91087155690956-1.57079632675     		φ = 1.34007523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34007523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.780655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7160 KachelY 5144 -1.76867985 1.34007523 -101.337891 76.780655
    Oben rechts KachelX + 1 7161 KachelY 5144 -1.76848810 1.34007523 -101.326904 76.780655
    Unten links KachelX 7160 KachelY + 1 5145 -1.76867985 1.34003138 -101.337891 76.778142
    Unten rechts KachelX + 1 7161 KachelY + 1 5145 -1.76848810 1.34003138 -101.326904 76.778142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34007523-1.34003138) × R
    4.38499999999564e-05 × 6371000     		dl = 279.368349999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34007523-1.34003138) × R
    4.38499999999564e-05 × 6371000     		dr = 279.368349999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76867985--1.76848810) × cos(1.34007523) × R
    0.000191750000000157 × 0.228679571919137 × 6371000     		do = 279.363940729845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76867985--1.76848810) × cos(1.34003138) × R
    0.000191750000000157 × 0.228722259750919 × 6371000     		du = 279.416089860647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34007523)-sin(1.34003138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228679571919137-0.228722259750919)×R²
    abs(-1.76848810--1.76867985)×4.26878317816015e-05×R²
    0.000191750000000157×4.26878317816015e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.26878317816015e-05×40589641000000     		ar = 78052.7275919634m²