Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7160 / 5112
↖ ↑ ↗
← N 76.860811°
W101.337891°		 ← 277.70 m → N 76.860811°
W101.326904°		 →
↑
277.71 m
↓
↑
277.71 m
↓
N 76.858313°
W101.337891°		 ← 277.75 m →
77 128 m²		 N 76.858313°
W101.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218521118164062 y=0.156021118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218521118164062 × 215)
    floor (0.218521118164062 × 32768)
    floor (7160.5)     		tx = 7160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156021118164062 × 215)
    floor (0.156021118164062 × 32768)
    floor (5112.5)     		ty = 5112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7160 / 5112 ti = "15/7160/5112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7160/5112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7160 ÷ 215
    7160 ÷ 32768     		x = 0.218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5112 ÷ 215
    5112 ÷ 32768     		y = 0.156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156005859375 × 2 - 1) × π
    0.68798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16137893006909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76867985} λ = -1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16137893006909))-π/2
    2×atan(8.68310279856375)-π/2
    2×1.45613526714612-π/2
    2.91227053429225-1.57079632675     		φ = 1.34147421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34147421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.860811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7160 KachelY 5112 -1.76867985 1.34147421 -101.337891 76.860811
    Oben rechts KachelX + 1 7161 KachelY 5112 -1.76848810 1.34147421 -101.326904 76.860811
    Unten links KachelX 7160 KachelY + 1 5113 -1.76867985 1.34143062 -101.337891 76.858313
    Unten rechts KachelX + 1 7161 KachelY + 1 5113 -1.76848810 1.34143062 -101.326904 76.858313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34147421-1.34143062) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dl = 277.711889999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34147421-1.34143062) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dr = 277.711889999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76867985--1.76848810) × cos(1.34147421) × R
    0.000191750000000157 × 0.227317439108434 × 6371000     		do = 277.699905824576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76867985--1.76848810) × cos(1.34143062) × R
    0.000191750000000157 × 0.227359887737357 × 6371000     		du = 277.751762735777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34147421)-sin(1.34143062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227317439108434-0.227359887737357)×R²
    abs(-1.76848810--1.76867985)×4.24486289227477e-05×R²
    0.000191750000000157×4.24486289227477e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.24486289227477e-05×40589641000000     		ar = 77127.7663518834m²