Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71599 / 63209
↖ ↑ ↗
← N  6.378083°
E 16.652527°		 ← 303.54 m → N  6.378083°
E 16.655273°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.375353°
E 16.652527°		 ← 303.54 m →
92 128 m²		 N  6.375353°
E 16.655273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546260833740234 y=0.482250213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546260833740234 × 217)
    floor (0.546260833740234 × 131072)
    floor (71599.5)     		tx = 71599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482250213623047 × 217)
    floor (0.482250213623047 × 131072)
    floor (63209.5)     		ty = 63209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71599 / 63209 ti = "17/71599/63209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71599/63209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71599 ÷ 217
    71599 ÷ 131072     		x = 0.546257019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63209 ÷ 217
    63209 ÷ 131072     		y = 0.482246398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546257019042969 × 2 - 1) × π
    0.0925140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29064142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482246398925781 × 2 - 1) × π
    0.0355072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.111549165415871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29064142} λ = 0.29064142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111549165415871))-π/2
    2×atan(1.11800871001748)-π/2
    2×0.841057435434621-π/2
    1.68211487086924-1.57079632675     		φ = 0.11131854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29064142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.652527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11131854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.378083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71599 KachelY 63209 0.29064142 0.11131854 16.652527 6.378083
    Oben rechts KachelX + 1 71600 KachelY 63209 0.29068936 0.11131854 16.655273 6.378083
    Unten links KachelX 71599 KachelY + 1 63210 0.29064142 0.11127090 16.652527 6.375353
    Unten rechts KachelX + 1 71600 KachelY + 1 63210 0.29068936 0.11127090 16.655273 6.375353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11131854-0.11127090) × R
    4.76399999999877e-05 × 6371000     		dl = 303.514439999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11131854-0.11127090) × R
    4.76399999999877e-05 × 6371000     		dr = 303.514439999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29064142-0.29068936) × cos(0.11131854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993810486897918 × 6371000     		do = 303.535303380709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29064142-0.29068936) × cos(0.11127090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993815778039439 × 6371000     		du = 303.536919431524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11131854)-sin(0.11127090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993810486897918-0.993815778039439)×R²
    abs(0.29068936-0.29064142)×5.29114152103549e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.29114152103549e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.29114152103549e-06×40589641000000     		ar = 92127.5928905996m²