Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71598 / 63224
↖ ↑ ↗
← N  6.337137°
E 16.649781°		 ← 303.50 m → N  6.337137°
E 16.652527°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.334408°
E 16.649781°		 ← 303.50 m →
92 116 m²		 N  6.334408°
E 16.652527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546253204345703 y=0.482364654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546253204345703 × 217)
    floor (0.546253204345703 × 131072)
    floor (71598.5)     		tx = 71598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482364654541016 × 217)
    floor (0.482364654541016 × 131072)
    floor (63224.5)     		ty = 63224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71598 / 63224 ti = "17/71598/63224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71598/63224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71598 ÷ 217
    71598 ÷ 131072     		x = 0.546249389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63224 ÷ 217
    63224 ÷ 131072     		y = 0.48236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546249389648438 × 2 - 1) × π
    0.092498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29059349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48236083984375 × 2 - 1) × π
    0.0352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.11083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29059349} λ = 0.29059349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11083011192157))-π/2
    2×atan(1.11720509090508)-π/2
    2×0.840700119742777-π/2
    1.68140023948555-1.57079632675     		φ = 0.11060391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29059349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.649781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11060391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.337137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71598 KachelY 63224 0.29059349 0.11060391 16.649781 6.337137
    Oben rechts KachelX + 1 71599 KachelY 63224 0.29064142 0.11060391 16.652527 6.337137
    Unten links KachelX 71598 KachelY + 1 63225 0.29059349 0.11055627 16.649781 6.334408
    Unten rechts KachelX + 1 71599 KachelY + 1 63225 0.29064142 0.11055627 16.652527 6.334408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11060391-0.11055627) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11060391-0.11055627) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29059349-0.29064142) × cos(0.11060391) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993889620495557 × 6371000     		do = 303.496152110287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29059349-0.29064142) × cos(0.11055627) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993894877801388 × 6371000     		du = 303.497757491868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11060391)-sin(0.11055627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993889620495557-0.993894877801388)×R²
    abs(0.29064142-0.29059349)×5.25730583134099e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.25730583134099e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.25730583134099e-06×40589641000000     		ar = 92115.708295605m²