Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71598 / 63222
↖ ↑ ↗
← N  6.342597°
E 16.649781°		 ← 303.49 m → N  6.342597°
E 16.652527°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.339867°
E 16.649781°		 ← 303.49 m →
92 115 m²		 N  6.339867°
E 16.652527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546253204345703 y=0.482349395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546253204345703 × 217)
    floor (0.546253204345703 × 131072)
    floor (71598.5)     		tx = 71598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482349395751953 × 217)
    floor (0.482349395751953 × 131072)
    floor (63222.5)     		ty = 63222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71598 / 63222 ti = "17/71598/63222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71598/63222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71598 ÷ 217
    71598 ÷ 131072     		x = 0.546249389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63222 ÷ 217
    63222 ÷ 131072     		y = 0.482345581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546249389648438 × 2 - 1) × π
    0.092498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29059349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482345581054688 × 2 - 1) × π
    0.035308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.11092598572081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29059349} λ = 0.29059349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11092598572081))-π/2
    2×atan(1.11731220673639)-π/2
    2×0.840747763477569-π/2
    1.68149552695514-1.57079632675     		φ = 0.11069920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29059349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.649781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11069920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.342597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71598 KachelY 63222 0.29059349 0.11069920 16.649781 6.342597
    Oben rechts KachelX + 1 71599 KachelY 63222 0.29064142 0.11069920 16.652527 6.342597
    Unten links KachelX 71598 KachelY + 1 63223 0.29059349 0.11065156 16.649781 6.339867
    Unten rechts KachelX + 1 71599 KachelY + 1 63223 0.29064142 0.11065156 16.652527 6.339867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11069920-0.11065156) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11069920-0.11065156) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29059349-0.29064142) × cos(0.11069920) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993879098012069 × 6371000     		do = 303.492938943369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29059349-0.29064142) × cos(0.11065156) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993884359829765 × 6371000     		du = 303.494545702702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11069920)-sin(0.11065156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993879098012069-0.993884359829765)×R²
    abs(0.29064142-0.29059349)×5.26181769622269e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.26181769622269e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.26181769622269e-06×40589641000000     		ar = 92114.7332620857m²