Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71597 / 63212
↖ ↑ ↗
← N  6.369894°
E 16.647034°		 ← 303.54 m → N  6.369894°
E 16.649781°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.367164°
E 16.647034°		 ← 303.54 m →
92 129 m²		 N  6.367164°
E 16.649781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546245574951172 y=0.482273101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546245574951172 × 217)
    floor (0.546245574951172 × 131072)
    floor (71597.5)     		tx = 71597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482273101806641 × 217)
    floor (0.482273101806641 × 131072)
    floor (63212.5)     		ty = 63212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71597 / 63212 ti = "17/71597/63212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71597/63212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71597 ÷ 217
    71597 ÷ 131072     		x = 0.546241760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63212 ÷ 217
    63212 ÷ 131072     		y = 0.482269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546241760253906 × 2 - 1) × π
    0.0924835205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29054555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482269287109375 × 2 - 1) × π
    0.03546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.111405354717011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29054555} λ = 0.29054555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111405354717011))-π/2
    2×atan(1.11784793996407)-π/2
    2×0.84098597457375-π/2
    1.6819719491475-1.57079632675     		φ = 0.11117562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29054555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.647034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11117562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.369894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71597 KachelY 63212 0.29054555 0.11117562 16.647034 6.369894
    Oben rechts KachelX + 1 71598 KachelY 63212 0.29059349 0.11117562 16.649781 6.369894
    Unten links KachelX 71597 KachelY + 1 63213 0.29054555 0.11112798 16.647034 6.367164
    Unten rechts KachelX + 1 71598 KachelY + 1 63213 0.29059349 0.11112798 16.649781 6.367164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11117562-0.11112798) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11117562-0.11112798) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29054555-0.29059349) × cos(0.11117562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993826353555867 × 6371000     		do = 303.540149466455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29054555-0.29059349) × cos(0.11112798) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99383163793075 × 6371000     		du = 303.541763450564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11117562)-sin(0.11112798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993826353555867-0.99383163793075)×R²
    abs(0.29059349-0.29054555)×5.28437488267475e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.28437488267475e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.28437488267475e-06×40589641000000     		ar = 92129.0634340072m²