Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71594 / 63210
↖ ↑ ↗
← N  6.375353°
E 16.638794°		 ← 303.47 m → N  6.375353°
E 16.641540°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.372623°
E 16.638794°		 ← 303.48 m →
92 109 m²		 N  6.372623°
E 16.641540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546222686767578 y=0.482257843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546222686767578 × 217)
    floor (0.546222686767578 × 131072)
    floor (71594.5)     		tx = 71594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482257843017578 × 217)
    floor (0.482257843017578 × 131072)
    floor (63210.5)     		ty = 63210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71594 / 63210 ti = "17/71594/63210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71594/63210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71594 ÷ 217
    71594 ÷ 131072     		x = 0.546218872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63210 ÷ 217
    63210 ÷ 131072     		y = 0.482254028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546218872070312 × 2 - 1) × π
    0.092437744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29040174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482254028320312 × 2 - 1) × π
    0.035491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.111501228516251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29040174} λ = 0.29040174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111501228516251))-π/2
    2×atan(1.11795511743072)-π/2
    2×0.841033615274441-π/2
    1.68206723054888-1.57079632675     		φ = 0.11127090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29040174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.638794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11127090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.375353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71594 KachelY 63210 0.29040174 0.11127090 16.638794 6.375353
    Oben rechts KachelX + 1 71595 KachelY 63210 0.29044967 0.11127090 16.641540 6.375353
    Unten links KachelX 71594 KachelY + 1 63211 0.29040174 0.11122326 16.638794 6.372623
    Unten rechts KachelX + 1 71595 KachelY + 1 63211 0.29044967 0.11122326 16.641540 6.372623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11127090-0.11122326) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11127090-0.11122326) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29040174-0.29044967) × cos(0.11127090) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993815778039439 × 6371000     		do = 303.473603427987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29040174-0.29044967) × cos(0.11122326) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993821066925426 × 6371000     		du = 303.475218452948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11127090)-sin(0.11122326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993815778039439-0.993821066925426)×R²
    abs(0.29044967-0.29040174)×5.28888598694266e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.28888598694266e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.28888598694266e-06×40589641000000     		ar = 92108.8659083435m²