Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71591 / 63219
↖ ↑ ↗
← N  6.350786°
E 16.630554°		 ← 303.49 m → N  6.350786°
E 16.633301°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.348057°
E 16.630554°		 ← 303.49 m →
92 113 m²		 N  6.348057°
E 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546199798583984 y=0.482326507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546199798583984 × 217)
    floor (0.546199798583984 × 131072)
    floor (71591.5)     		tx = 71591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482326507568359 × 217)
    floor (0.482326507568359 × 131072)
    floor (63219.5)     		ty = 63219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71591 / 63219 ti = "17/71591/63219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71591/63219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71591 ÷ 217
    71591 ÷ 131072     		x = 0.546195983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63219 ÷ 217
    63219 ÷ 131072     		y = 0.482322692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546195983886719 × 2 - 1) × π
    0.0923919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29025793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482322692871094 × 2 - 1) × π
    0.0353546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.11106979641967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29025793} λ = 0.29025793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11106979641967))-π/2
    2×atan(1.11747289974009)-π/2
    2×0.840819228133469-π/2
    1.68163845626694-1.57079632675     		φ = 0.11084213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29025793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.630554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11084213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.350786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71591 KachelY 63219 0.29025793 0.11084213 16.630554 6.350786
    Oben rechts KachelX + 1 71592 KachelY 63219 0.29030586 0.11084213 16.633301 6.350786
    Unten links KachelX 71591 KachelY + 1 63220 0.29025793 0.11079449 16.630554 6.348057
    Unten rechts KachelX + 1 71592 KachelY + 1 63220 0.29030586 0.11079449 16.633301 6.348057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11084213-0.11079449) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11084213-0.11079449) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29025793-0.29030586) × cos(0.11084213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993863297918808 × 6371000     		do = 303.488114195168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29025793-0.29030586) × cos(0.11079449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993868566503976 × 6371000     		du = 303.48972302103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11084213)-sin(0.11079449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993863297918808-0.993868566503976)×R²
    abs(0.29030586-0.29025793)×5.26858516725071e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.26858516725071e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.26858516725071e-06×40589641000000     		ar = 92113.2691949508m²