Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7159 / 5657
↖ ↑ ↗
← N 48.560250°
W 22.697754°		 ← 1 617.04 m → N 48.560250°
W 22.675781°		 →
↑
1 617.21 m
↓
↑
1 617.21 m
↓
N 48.545706°
W 22.697754°		 ← 1 617.51 m →
2 615 477 m²		 N 48.545706°
W 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436981201171875 y=0.345306396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436981201171875 × 214)
    floor (0.436981201171875 × 16384)
    floor (7159.5)     		tx = 7159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345306396484375 × 214)
    floor (0.345306396484375 × 16384)
    floor (5657.5)     		ty = 5657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7159 / 5657 ti = "14/7159/5657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7159/5657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7159 ÷ 214
    7159 ÷ 16384     		x = 0.43695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5657 ÷ 214
    5657 ÷ 16384     		y = 0.34527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39615054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34527587890625 × 2 - 1) × π
    0.3094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.972160324294739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39615054} λ = -0.39615054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972160324294739))-π/2
    2×atan(2.64364943493778)-π/2
    2×1.20916628561666-π/2
    2.41833257123332-1.57079632675     		φ = 0.84753624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39615054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.697754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84753624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.560250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7159 KachelY 5657 -0.39615054 0.84753624 -22.697754 48.560250
    Oben rechts KachelX + 1 7160 KachelY 5657 -0.39576704 0.84753624 -22.675781 48.560250
    Unten links KachelX 7159 KachelY + 1 5658 -0.39615054 0.84728240 -22.697754 48.545706
    Unten rechts KachelX + 1 7160 KachelY + 1 5658 -0.39576704 0.84728240 -22.675781 48.545706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84753624-0.84728240) × R
    0.000253840000000061 × 6371000     		dl = 1617.21464000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84753624-0.84728240) × R
    0.000253840000000061 × 6371000     		dr = 1617.21464000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39615054--0.39576704) × cos(0.84753624) × R
    0.000383499999999981 × 0.661832115538112 × 6371000     		do = 1617.04017850371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39615054--0.39576704) × cos(0.84728240) × R
    0.000383499999999981 × 0.662022385899222 × 6371000     		du = 1617.50506198619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84753624)-sin(0.84728240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661832115538112-0.662022385899222)×R²
    abs(-0.39576704--0.39615054)×0.000190270361109968×R²
    0.000383499999999981×0.000190270361109968×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190270361109968×40589641000000     		ar = 2615476.97237688m²