Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71587 / 63242
↖ ↑ ↗
← N  6.287999°
E 16.619568°		 ← 303.59 m → N  6.287999°
E 16.622315°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
N  6.285269°
E 16.619568°		 ← 303.59 m →
92 163 m²		 N  6.285269°
E 16.622315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546169281005859 y=0.482501983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546169281005859 × 217)
    floor (0.546169281005859 × 131072)
    floor (71587.5)     		tx = 71587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482501983642578 × 217)
    floor (0.482501983642578 × 131072)
    floor (63242.5)     		ty = 63242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71587 / 63242 ti = "17/71587/63242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71587/63242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71587 ÷ 217
    71587 ÷ 131072     		x = 0.546165466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63242 ÷ 217
    63242 ÷ 131072     		y = 0.482498168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546165466308594 × 2 - 1) × π
    0.0923309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29006618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482498168945312 × 2 - 1) × π
    0.035003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.109967247728409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29006618} λ = 0.29006618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.109967247728409))-π/2
    2×atan(1.11624151041505)-π/2
    2×0.840271303492461-π/2
    1.68054260698492-1.57079632675     		φ = 0.10974628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29006618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.619568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10974628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.287999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71587 KachelY 63242 0.29006618 0.10974628 16.619568 6.287999
    Oben rechts KachelX + 1 71588 KachelY 63242 0.29011412 0.10974628 16.622315 6.287999
    Unten links KachelX 71587 KachelY + 1 63243 0.29006618 0.10969863 16.619568 6.285269
    Unten rechts KachelX + 1 71588 KachelY + 1 63243 0.29011412 0.10969863 16.622315 6.285269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10974628-0.10969863) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10974628-0.10969863) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29006618-0.29011412) × cos(0.10974628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993983918914502 × 6371000     		do = 303.588273982363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29006618-0.29011412) × cos(0.10969863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993989136705247 × 6371000     		du = 303.589867629962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10974628)-sin(0.10969863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993983918914502-0.993989136705247)×R²
    abs(0.29011412-0.29006618)×5.21779074458273e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.21779074458273e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.21779074458273e-06×40589641000000     		ar = 92163.0084929593m²