Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71586 / 63206
↖ ↑ ↗
← N  6.386271°
E 16.616821°		 ← 303.53 m → N  6.386271°
E 16.619568°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.383542°
E 16.616821°		 ← 303.53 m →
92 126 m²		 N  6.383542°
E 16.619568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546161651611328 y=0.482227325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546161651611328 × 217)
    floor (0.546161651611328 × 131072)
    floor (71586.5)     		tx = 71586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482227325439453 × 217)
    floor (0.482227325439453 × 131072)
    floor (63206.5)     		ty = 63206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71586 / 63206 ti = "17/71586/63206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71586/63206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71586 ÷ 217
    71586 ÷ 131072     		x = 0.546157836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63206 ÷ 217
    63206 ÷ 131072     		y = 0.482223510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546157836914062 × 2 - 1) × π
    0.092315673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29001824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482223510742188 × 2 - 1) × π
    0.035552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.111692976114731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29001824} λ = 0.29001824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111692976114731))-π/2
    2×atan(1.11816950319301)-π/2
    2×0.84112889515386-π/2
    1.68225779030772-1.57079632675     		φ = 0.11146146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29001824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.616821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11146146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.386271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71586 KachelY 63206 0.29001824 0.11146146 16.616821 6.386271
    Oben rechts KachelX + 1 71587 KachelY 63206 0.29006618 0.11146146 16.619568 6.386271
    Unten links KachelX 71586 KachelY + 1 63207 0.29001824 0.11141382 16.616821 6.383542
    Unten rechts KachelX + 1 71587 KachelY + 1 63207 0.29006618 0.11141382 16.619568 6.383542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11146146-0.11141382) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11146146-0.11141382) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29001824-0.29006618) × cos(0.11146146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993794599940271 × 6371000     		do = 303.530451094914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29001824-0.29006618) × cos(0.11141382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993799897848322 × 6371000     		du = 303.532069212401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11146146)-sin(0.11141382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993794599940271-0.993799897848322)×R²
    abs(0.29006618-0.29001824)×5.29790805114949e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.29790805114949e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.29790805114949e-06×40589641000000     		ar = 92126.120465449m²