Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71583 / 63251
↖ ↑ ↗
← N  6.263427°
E 16.608581°		 ← 303.60 m → N  6.263427°
E 16.611328°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
N  6.260697°
E 16.608581°		 ← 303.60 m →
92 167 m²		 N  6.260697°
E 16.611328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546138763427734 y=0.482570648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546138763427734 × 217)
    floor (0.546138763427734 × 131072)
    floor (71583.5)     		tx = 71583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482570648193359 × 217)
    floor (0.482570648193359 × 131072)
    floor (63251.5)     		ty = 63251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71583 / 63251 ti = "17/71583/63251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71583/63251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71583 ÷ 217
    71583 ÷ 131072     		x = 0.546134948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63251 ÷ 217
    63251 ÷ 131072     		y = 0.482566833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546134948730469 × 2 - 1) × π
    0.0922698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28987443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482566833496094 × 2 - 1) × π
    0.0348663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.109535815631828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28987443} λ = 0.28987443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.109535815631828))-π/2
    2×atan(1.11576003187004)-π/2
    2×0.840056880149944-π/2
    1.68011376029989-1.57079632675     		φ = 0.10931743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28987443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.608581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10931743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.263427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71583 KachelY 63251 0.28987443 0.10931743 16.608581 6.263427
    Oben rechts KachelX + 1 71584 KachelY 63251 0.28992237 0.10931743 16.611328 6.263427
    Unten links KachelX 71583 KachelY + 1 63252 0.28987443 0.10926978 16.608581 6.260697
    Unten rechts KachelX + 1 71584 KachelY + 1 63252 0.28992237 0.10926978 16.611328 6.260697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10931743-0.10926978) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10931743-0.10926978) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28987443-0.28992237) × cos(0.10931743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.99403079778272 × 6371000     		do = 303.602591995378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28987443-0.28992237) × cos(0.10926978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.994035995261166 × 6371000     		du = 303.604179439079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10931743)-sin(0.10926978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99403079778272-0.994035995261166)×R²
    abs(0.28992237-0.28987443)×5.19747844629492e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.19747844629492e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.19747844629492e-06×40589641000000     		ar = 92167.3541872109m²