Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71582 / 63234
↖ ↑ ↗
← N  6.309839°
E 16.605835°		 ← 303.51 m → N  6.309839°
E 16.608581°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
N  6.307109°
E 16.605835°		 ← 303.51 m →
92 140 m²		 N  6.307109°
E 16.608581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546131134033203 y=0.482440948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546131134033203 × 217)
    floor (0.546131134033203 × 131072)
    floor (71582.5)     		tx = 71582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482440948486328 × 217)
    floor (0.482440948486328 × 131072)
    floor (63234.5)     		ty = 63234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71582 / 63234 ti = "17/71582/63234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71582/63234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71582 ÷ 217
    71582 ÷ 131072     		x = 0.546127319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63234 ÷ 217
    63234 ÷ 131072     		y = 0.482437133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546127319335938 × 2 - 1) × π
    0.092254638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28982650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482437133789062 × 2 - 1) × π
    0.035125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.110350742925369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28982650} λ = 0.28982650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110350742925369))-π/2
    2×atan(1.11666966576546)-π/2
    2×0.840461893514542-π/2
    1.68092378702908-1.57079632675     		φ = 0.11012746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28982650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.605835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11012746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.309839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71582 KachelY 63234 0.28982650 0.11012746 16.605835 6.309839
    Oben rechts KachelX + 1 71583 KachelY 63234 0.28987443 0.11012746 16.608581 6.309839
    Unten links KachelX 71582 KachelY + 1 63235 0.28982650 0.11007981 16.605835 6.307109
    Unten rechts KachelX + 1 71583 KachelY + 1 63235 0.28987443 0.11007981 16.608581 6.307109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11012746-0.11007981) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11012746-0.11007981) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28982650-0.28987443) × cos(0.11012746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993942097540579 × 6371000     		do = 303.512176607635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28982650-0.28987443) × cos(0.11007981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993947333384947 × 6371000     		du = 303.5137754357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11012746)-sin(0.11007981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993942097540579-0.993947333384947)×R²
    abs(0.28987443-0.28982650)×5.23584436795677e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.23584436795677e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.23584436795677e-06×40589641000000     		ar = 92139.9077790657m²