Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71581 / 63194
↖ ↑ ↗
← N  6.419025°
E 16.603088°		 ← 303.51 m → N  6.419025°
E 16.605835°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.416295°
E 16.603088°		 ← 303.51 m →
92 120 m²		 N  6.416295°
E 16.605835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546123504638672 y=0.482135772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546123504638672 × 217)
    floor (0.546123504638672 × 131072)
    floor (71581.5)     		tx = 71581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482135772705078 × 217)
    floor (0.482135772705078 × 131072)
    floor (63194.5)     		ty = 63194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71581 / 63194 ti = "17/71581/63194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71581/63194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71581 ÷ 217
    71581 ÷ 131072     		x = 0.546119689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63194 ÷ 217
    63194 ÷ 131072     		y = 0.482131958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546119689941406 × 2 - 1) × π
    0.0922393798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28977856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482131958007812 × 2 - 1) × π
    0.035736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.112268218910172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28977856} λ = 0.28977856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112268218910172))-π/2
    2×atan(1.11881290718282)-π/2
    2×0.841414722585669-π/2
    1.68282944517134-1.57079632675     		φ = 0.11203312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28977856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.603088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11203312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.419025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71581 KachelY 63194 0.28977856 0.11203312 16.603088 6.419025
    Oben rechts KachelX + 1 71582 KachelY 63194 0.28982650 0.11203312 16.605835 6.419025
    Unten links KachelX 71581 KachelY + 1 63195 0.28977856 0.11198548 16.603088 6.416295
    Unten rechts KachelX + 1 71582 KachelY + 1 63195 0.28982650 0.11198548 16.605835 6.416295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11203312-0.11198548) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11203312-0.11198548) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28977856-0.28982650) × cos(0.11203312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.99373085135517 × 6371000     		do = 303.510980635784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28977856-0.28982650) × cos(0.11198548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993736176327311 × 6371000     		du = 303.512607019341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11203312)-sin(0.11198548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99373085135517-0.993736176327311)×R²
    abs(0.28982650-0.28977856)×5.32497214145167e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.32497214145167e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.32497214145167e-06×40589641000000     		ar = 92120.2121543786m²