Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71580 / 63236
↖ ↑ ↗
← N  6.304379°
E 16.600342°		 ← 303.58 m → N  6.304379°
E 16.603088°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
N  6.301649°
E 16.600342°		 ← 303.58 m →
92 160 m²		 N  6.301649°
E 16.603088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546115875244141 y=0.482456207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546115875244141 × 217)
    floor (0.546115875244141 × 131072)
    floor (71580.5)     		tx = 71580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482456207275391 × 217)
    floor (0.482456207275391 × 131072)
    floor (63236.5)     		ty = 63236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71580 / 63236 ti = "17/71580/63236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71580/63236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71580 ÷ 217
    71580 ÷ 131072     		x = 0.546112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63236 ÷ 217
    63236 ÷ 131072     		y = 0.482452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546112060546875 × 2 - 1) × π
    0.09222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28973062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482452392578125 × 2 - 1) × π
    0.03509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.110254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28973062} λ = 0.28973062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110254869126129))-π/2
    2×atan(1.11656261153403)-π/2
    2×0.840414246761031-π/2
    1.68082849352206-1.57079632675     		φ = 0.11003217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28973062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.600342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11003217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.304379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71580 KachelY 63236 0.28973062 0.11003217 16.600342 6.304379
    Oben rechts KachelX + 1 71581 KachelY 63236 0.28977856 0.11003217 16.603088 6.304379
    Unten links KachelX 71580 KachelY + 1 63237 0.28973062 0.10998452 16.600342 6.301649
    Unten rechts KachelX + 1 71581 KachelY + 1 63237 0.28977856 0.10998452 16.603088 6.301649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11003217-0.10998452) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11003217-0.10998452) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28973062-0.28977856) × cos(0.11003217) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993952565874432 × 6371000     		do = 303.57869795725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28973062-0.28977856) × cos(0.10998452) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993957797205703 × 6371000     		du = 303.580295740474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11003217)-sin(0.10998452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993952565874432-0.993957797205703)×R²
    abs(0.28977856-0.28973062)×5.23133127017239e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.23133127017239e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.23133127017239e-06×40589641000000     		ar = 92160.1020487347m²