Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71580 / 63230
↖ ↑ ↗
← N  6.320758°
E 16.600342°		 ← 303.57 m → N  6.320758°
E 16.603088°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.318029°
E 16.600342°		 ← 303.57 m →
92 138 m²		 N  6.318029°
E 16.603088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546115875244141 y=0.482410430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546115875244141 × 217)
    floor (0.546115875244141 × 131072)
    floor (71580.5)     		tx = 71580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482410430908203 × 217)
    floor (0.482410430908203 × 131072)
    floor (63230.5)     		ty = 63230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71580 / 63230 ti = "17/71580/63230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71580/63230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71580 ÷ 217
    71580 ÷ 131072     		x = 0.546112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63230 ÷ 217
    63230 ÷ 131072     		y = 0.482406616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546112060546875 × 2 - 1) × π
    0.09222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28973062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482406616210938 × 2 - 1) × π
    0.035186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.110542490523849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28973062} λ = 0.28973062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110542490523849))-π/2
    2×atan(1.11688380502185)-π/2
    2×0.840557185514982-π/2
    1.68111437102996-1.57079632675     		φ = 0.11031804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28973062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.600342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11031804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.320758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71580 KachelY 63230 0.28973062 0.11031804 16.600342 6.320758
    Oben rechts KachelX + 1 71581 KachelY 63230 0.28977856 0.11031804 16.603088 6.320758
    Unten links KachelX 71580 KachelY + 1 63231 0.28973062 0.11027040 16.600342 6.318029
    Unten rechts KachelX + 1 71581 KachelY + 1 63231 0.28977856 0.11027040 16.603088 6.318029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11031804-0.11027040) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11031804-0.11027040) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28973062-0.28977856) × cos(0.11031804) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993921133797436 × 6371000     		do = 303.569097791873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28973062-0.28977856) × cos(0.11027040) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993926377567386 × 6371000     		du = 303.570699374191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11031804)-sin(0.11027040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993921133797436-0.993926377567386)×R²
    abs(0.28977856-0.28973062)×5.24376995036935e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.24376995036935e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.24376995036935e-06×40589641000000     		ar = 92137.8477867149m²