Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7158 / 5511
↖ ↑ ↗
← N 50.639010°
W 22.719726°		 ← 1 549.50 m → N 50.639010°
W 22.697754°		 →
↑
1 549.75 m
↓
↑
1 549.75 m
↓
N 50.625073°
W 22.719726°		 ← 1 549.96 m →
2 401 683 m²		 N 50.625073°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436920166015625 y=0.336395263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436920166015625 × 214)
    floor (0.436920166015625 × 16384)
    floor (7158.5)     		tx = 7158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336395263671875 × 214)
    floor (0.336395263671875 × 16384)
    floor (5511.5)     		ty = 5511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7158 / 5511 ti = "14/7158/5511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7158/5511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7158 ÷ 214
    7158 ÷ 16384     		x = 0.4368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5511 ÷ 214
    5511 ÷ 16384     		y = 0.33636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33636474609375 × 2 - 1) × π
    0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39653403} λ = -0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02815062305096))-π/2
    2×atan(2.79589039525594)-π/2
    2×1.22730689306774-π/2
    2.45461378613548-1.57079632675     		φ = 0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7158 KachelY 5511 -0.39653403 0.88381746 -22.719726 50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 7159 KachelY 5511 -0.39615054 0.88381746 -22.697754 50.639010
    Unten links KachelX 7158 KachelY + 1 5512 -0.39653403 0.88357421 -22.719726 50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 7159 KachelY + 1 5512 -0.39615054 0.88357421 -22.697754 50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88381746-0.88357421) × R
    0.000243250000000028 × 6371000     		dl = 1549.74575000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88381746-0.88357421) × R
    0.000243250000000028 × 6371000     		dr = 1549.74575000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39653403--0.39615054) × cos(0.88381746) × R
    0.000383489999999986 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 1549.49718859615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39653403--0.39615054) × cos(0.88357421) × R
    0.000383489999999986 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 1549.95664431543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88381746)-sin(0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.39615054--0.39653403)×0.0001880537565353×R²
    0.000383489999999986×0.0001880537565353×6371000²
    0.000383489999999986×0.0001880537565353×40589641000000     		ar = 2401682.7142801m²