Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7158 / 5509
↖ ↑ ↗
← N 50.666872°
W 22.719726°		 ← 1 548.58 m → N 50.666872°
W 22.697754°		 →
↑
1 548.79 m
↓
↑
1 548.79 m
↓
N 50.652944°
W 22.719726°		 ← 1 549.04 m →
2 398 779 m²		 N 50.652944°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436920166015625 y=0.336273193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436920166015625 × 214)
    floor (0.436920166015625 × 16384)
    floor (7158.5)     		tx = 7158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336273193359375 × 214)
    floor (0.336273193359375 × 16384)
    floor (5509.5)     		ty = 5509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7158 / 5509 ti = "14/7158/5509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7158/5509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7158 ÷ 214
    7158 ÷ 16384     		x = 0.4368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5509 ÷ 214
    5509 ÷ 16384     		y = 0.33624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33624267578125 × 2 - 1) × π
    0.3275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02891761344489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39653403} λ = -0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02891761344489))-π/2
    2×atan(2.79803563891703)-π/2
    2×1.22755003523972-π/2
    2.45510007047944-1.57079632675     		φ = 0.88430374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88430374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.666872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7158 KachelY 5509 -0.39653403 0.88430374 -22.719726 50.666872
    Oben rechts KachelX + 1 7159 KachelY 5509 -0.39615054 0.88430374 -22.697754 50.666872
    Unten links KachelX 7158 KachelY + 1 5510 -0.39653403 0.88406064 -22.719726 50.652944
    Unten rechts KachelX + 1 7159 KachelY + 1 5510 -0.39615054 0.88406064 -22.697754 50.652944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88430374-0.88406064) × R
    0.000243100000000052 × 6371000     		dl = 1548.79010000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88430374-0.88406064) × R
    0.000243100000000052 × 6371000     		dr = 1548.79010000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39653403--0.39615054) × cos(0.88430374) × R
    0.000383489999999986 × 0.633828193991419 × 6371000     		do = 1548.57841787877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39653403--0.39615054) × cos(0.88406064) × R
    0.000383489999999986 × 0.634016206757387 × 6371000     		du = 1549.03777344929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88430374)-sin(0.88406064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633828193991419-0.634016206757387)×R²
    abs(-0.39615054--0.39653403)×0.000188012765968248×R²
    0.000383489999999986×0.000188012765968248×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188012765968248×40589641000000     		ar = 2398778.65717846m²