Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7158 / 5105
↖ ↑ ↗
← N 76.878281°
W101.359863°		 ← 277.32 m → N 76.878281°
W101.348877°		 →
↑
277.33 m
↓
↑
277.33 m
↓
N 76.875787°
W101.359863°		 ← 277.37 m →
76 917 m²		 N 76.875787°
W101.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218460083007812 y=0.155807495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218460083007812 × 215)
    floor (0.218460083007812 × 32768)
    floor (7158.5)     		tx = 7158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155807495117188 × 215)
    floor (0.155807495117188 × 32768)
    floor (5105.5)     		ty = 5105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7158 / 5105 ti = "15/7158/5105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7158/5105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7158 ÷ 215
    7158 ÷ 32768     		x = 0.21844482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5105 ÷ 215
    5105 ÷ 32768     		y = 0.155792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.5631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76906334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155792236328125 × 2 - 1) × π
    0.68841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16272116325845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76906334} λ = -1.76906334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16272116325845))-π/2
    2×atan(8.69476537252261)-π/2
    2×1.45628772399158-π/2
    2.91257544798317-1.57079632675     		φ = 1.34177912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76906334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34177912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.878281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7158 KachelY 5105 -1.76906334 1.34177912 -101.359863 76.878281
    Oben rechts KachelX + 1 7159 KachelY 5105 -1.76887160 1.34177912 -101.348877 76.878281
    Unten links KachelX 7158 KachelY + 1 5106 -1.76906334 1.34173559 -101.359863 76.875787
    Unten rechts KachelX + 1 7159 KachelY + 1 5106 -1.76887160 1.34173559 -101.348877 76.875787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34177912-1.34173559) × R
    4.35299999999028e-05 × 6371000     		dl = 277.329629999381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34177912-1.34173559) × R
    4.35299999999028e-05 × 6371000     		dr = 277.329629999381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76906334--1.76887160) × cos(1.34177912) × R
    0.000191739999999996 × 0.227020500872444 × 6371000     		do = 277.322690944321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76906334--1.76887160) × cos(1.34173559) × R
    0.000191739999999996 × 0.227062894088153 × 6371000     		du = 277.374477459692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34177912)-sin(1.34173559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227020500872444-0.227062894088153)×R²
    abs(-1.76887160--1.76906334)×4.23932157082862e-05×R²
    0.000191739999999996×4.23932157082862e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.23932157082862e-05×40589641000000     		ar = 76916.9802498404m²