Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7158 / 10139
↖ ↑ ↗
← S 39.283294°
W 22.719726°		 ← 1 891.11 m → S 39.283294°
W 22.697754°		 →
↑
1 890.91 m
↓
↑
1 890.91 m
↓
S 39.300299°
W 22.719726°		 ← 1 890.65 m →
3 575 488 m²		 S 39.300299°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436920166015625 y=0.618865966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436920166015625 × 214)
    floor (0.436920166015625 × 16384)
    floor (7158.5)     		tx = 7158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618865966796875 × 214)
    floor (0.618865966796875 × 16384)
    floor (10139.5)     		ty = 10139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7158 / 10139 ti = "14/7158/10139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7158/10139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7158 ÷ 214
    7158 ÷ 16384     		x = 0.4368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10139 ÷ 214
    10139 ÷ 16384     		y = 0.61883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61883544921875 × 2 - 1) × π
    -0.2376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.746665148481995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39653403} λ = -0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746665148481995))-π/2
    2×atan(0.473944454628379)-π/2
    2×0.442586753884968-π/2
    0.885173507769937-1.57079632675     		φ = -0.68562282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68562282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.283294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7158 KachelY 10139 -0.39653403 -0.68562282 -22.719726 -39.283294
    Oben rechts KachelX + 1 7159 KachelY 10139 -0.39615054 -0.68562282 -22.697754 -39.283294
    Unten links KachelX 7158 KachelY + 1 10140 -0.39653403 -0.68591962 -22.719726 -39.300299
    Unten rechts KachelX + 1 7159 KachelY + 1 10140 -0.39615054 -0.68591962 -22.697754 -39.300299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68562282--0.68591962) × R
    0.000296799999999986 × 6371000     		dl = 1890.91279999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68562282--0.68591962) × R
    0.000296799999999986 × 6371000     		dr = 1890.91279999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39653403--0.39615054) × cos(-0.68562282) × R
    0.000383489999999986 × 0.774024855511972 × 6371000     		do = 1891.10897481439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39653403--0.39615054) × cos(-0.68591962) × R
    0.000383489999999986 × 0.773836900955659 × 6371000     		du = 1890.64976146256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68562282)-sin(-0.68591962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774024855511972-0.773836900955659)×R²
    abs(-0.39615054--0.39653403)×0.000187954556312819×R²
    0.000383489999999986×0.000187954556312819×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187954556312819×40589641000000     		ar = 3575488.02671474m²