Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71576 / 76120
↖ ↑ ↗
← S 27.897349°
E 16.589355°		 ← 269.93 m → S 27.897349°
E 16.592102°		 →
↑
269.88 m
↓
↑
269.88 m
↓
S 27.899776°
E 16.589355°		 ← 269.93 m →
72 847 m²		 S 27.899776°
E 16.592102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546085357666016 y=0.580753326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546085357666016 × 217)
    floor (0.546085357666016 × 131072)
    floor (71576.5)     		tx = 71576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580753326416016 × 217)
    floor (0.580753326416016 × 131072)
    floor (76120.5)     		ty = 76120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71576 / 76120 ti = "17/71576/76120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71576/76120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71576 ÷ 217
    71576 ÷ 131072     		x = 0.54608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76120 ÷ 217
    76120 ÷ 131072     		y = 0.58074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54608154296875 × 2 - 1) × π
    0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58074951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.507364145578674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28953887} λ = 0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.507364145578674))-π/2
    2×atan(0.602080485612839)-π/2
    2×0.541947865085509-π/2
    1.08389573017102-1.57079632675     		φ = -0.48690060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48690060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.897349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71576 KachelY 76120 0.28953887 -0.48690060 16.589355 -27.897349
    Oben rechts KachelX + 1 71577 KachelY 76120 0.28958681 -0.48690060 16.592102 -27.897349
    Unten links KachelX 71576 KachelY + 1 76121 0.28953887 -0.48694296 16.589355 -27.899776
    Unten rechts KachelX + 1 71577 KachelY + 1 76121 0.28958681 -0.48694296 16.592102 -27.899776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48690060--0.48694296) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dl = 269.875559999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48690060--0.48694296) × R
    4.23599999999635e-05 × 6371000     		dr = 269.875559999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28953887-0.28958681) × cos(-0.48690060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883787276187528 × 6371000     		do = 269.931382831983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28953887-0.28958681) × cos(-0.48694296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.883767455619555 × 6371000     		du = 269.925329120343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48690060)-sin(-0.48694296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883787276187528-0.883767455619555)×R²
    abs(0.28958681-0.28953887)×1.98205679727836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98205679727836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98205679727836e-05×40589641000000     		ar = 72847.0662397851m²