Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71576 / 63249
↖ ↑ ↗
← N  6.268888°
E 16.589355°		 ← 303.60 m → N  6.268888°
E 16.592102°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
N  6.266158°
E 16.589355°		 ← 303.60 m →
92 166 m²		 N  6.266158°
E 16.592102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546085357666016 y=0.482555389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546085357666016 × 217)
    floor (0.546085357666016 × 131072)
    floor (71576.5)     		tx = 71576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482555389404297 × 217)
    floor (0.482555389404297 × 131072)
    floor (63249.5)     		ty = 63249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71576 / 63249 ti = "17/71576/63249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71576/63249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71576 ÷ 217
    71576 ÷ 131072     		x = 0.54608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63249 ÷ 217
    63249 ÷ 131072     		y = 0.482551574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54608154296875 × 2 - 1) × π
    0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482551574707031 × 2 - 1) × π
    0.0348968505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.109631689431068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28953887} λ = 0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.109631689431068))-π/2
    2×atan(1.11586700915141)-π/2
    2×0.840104530655218-π/2
    1.68020906131044-1.57079632675     		φ = 0.10941273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10941273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.268888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71576 KachelY 63249 0.28953887 0.10941273 16.589355 6.268888
    Oben rechts KachelX + 1 71577 KachelY 63249 0.28958681 0.10941273 16.592102 6.268888
    Unten links KachelX 71576 KachelY + 1 63250 0.28953887 0.10936508 16.589355 6.266158
    Unten rechts KachelX + 1 71577 KachelY + 1 63250 0.28958681 0.10936508 16.592102 6.266158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10941273-0.10936508) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10941273-0.10936508) × R
    4.76499999999963e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28953887-0.28958681) × cos(0.10941273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.994020396054931 × 6371000     		do = 303.599415039971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28953887-0.28958681) × cos(0.10936508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.994025598047304 × 6371000     		du = 303.601003862341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10941273)-sin(0.10936508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994020396054931-0.994025598047304)×R²
    abs(0.28958681-0.28953887)×5.20199237319385e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.20199237319385e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.20199237319385e-06×40589641000000     		ar = 92166.3899422423m²