Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7157 / 9290
↖ ↑ ↗
← N 77.977612°
W140.685425°		 ← 127.22 m → N 77.977612°
W140.679932°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 77.976468°
W140.685425°		 ← 127.24 m →
16 187 m²		 N 77.976468°
W140.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109214782714844 y=0.141761779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109214782714844 × 216)
    floor (0.109214782714844 × 65536)
    floor (7157.5)     		tx = 7157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141761779785156 × 216)
    floor (0.141761779785156 × 65536)
    floor (9290.5)     		ty = 9290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7157 / 9290 ti = "16/7157/9290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7157/9290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7157 ÷ 216
    7157 ÷ 65536     		x = 0.109207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9290 ÷ 216
    9290 ÷ 65536     		y = 0.141754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109207153320312 × 2 - 1) × π
    -0.781585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45542387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141754150390625 × 2 - 1) × π
    0.71649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25092505855936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45542387} λ = -2.45542387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25092505855936))-π/2
    2×atan(9.49651660834084)-π/2
    2×1.46588120006046-π/2
    2.93176240012092-1.57079632675     		φ = 1.36096607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45542387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.685425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36096607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.977612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7157 KachelY 9290 -2.45542387 1.36096607 -140.685425 77.977612
    Oben rechts KachelX + 1 7158 KachelY 9290 -2.45532800 1.36096607 -140.679932 77.977612
    Unten links KachelX 7157 KachelY + 1 9291 -2.45542387 1.36094610 -140.685425 77.976468
    Unten rechts KachelX + 1 7158 KachelY + 1 9291 -2.45532800 1.36094610 -140.679932 77.976468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36096607-1.36094610) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36096607-1.36094610) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45542387--2.45532800) × cos(1.36096607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208293882741589 × 6371000     		do = 127.223356144374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45542387--2.45532800) × cos(1.36094610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208313414683771 × 6371000     		du = 127.235286015783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36096607)-sin(1.36094610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208293882741589-0.208313414683771)×R²
    abs(-2.45532800--2.45542387)×1.95319421818219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95319421818219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95319421818219e-05×40589641000000     		ar = 16187.2427523995m²