Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7157 / 9203
↖ ↑ ↗
← N 78.076752°
W140.685425°		 ← 126.19 m → N 78.076752°
W140.679932°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
N 78.075617°
W140.685425°		 ← 126.20 m →
15 927 m²		 N 78.075617°
W140.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109214782714844 y=0.140434265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109214782714844 × 216)
    floor (0.109214782714844 × 65536)
    floor (7157.5)     		tx = 7157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140434265136719 × 216)
    floor (0.140434265136719 × 65536)
    floor (9203.5)     		ty = 9203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7157 / 9203 ti = "16/7157/9203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7157/9203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7157 ÷ 216
    7157 ÷ 65536     		x = 0.109207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9203 ÷ 216
    9203 ÷ 65536     		y = 0.140426635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109207153320312 × 2 - 1) × π
    -0.781585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45542387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140426635742188 × 2 - 1) × π
    0.719146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25926607909325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45542387} λ = -2.45542387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25926607909325))-π/2
    2×atan(9.57605851755941)-π/2
    2×1.4667463575825-π/2
    2.93349271516501-1.57079632675     		φ = 1.36269639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45542387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.685425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36269639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.076752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7157 KachelY 9203 -2.45542387 1.36269639 -140.685425 78.076752
    Oben rechts KachelX + 1 7158 KachelY 9203 -2.45532800 1.36269639 -140.679932 78.076752
    Unten links KachelX 7157 KachelY + 1 9204 -2.45542387 1.36267658 -140.685425 78.075617
    Unten rechts KachelX + 1 7158 KachelY + 1 9204 -2.45532800 1.36267658 -140.679932 78.075617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36269639-1.36267658) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dl = 126.209509999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36269639-1.36267658) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dr = 126.209509999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45542387--2.45532800) × cos(1.36269639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206601204114702 × 6371000     		do = 126.189488740531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45542387--2.45532800) × cos(1.36267658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206620586678087 × 6371000     		du = 126.201327373198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36269639)-sin(1.36267658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206601204114702-0.206620586678087)×R²
    abs(-2.45532800--2.45542387)×1.93825633851286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93825633851286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93825633851286e-05×40589641000000     		ar = 15927.060615911m²