Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7157 / 10792
↖ ↑ ↗
← S 49.496675°
W 22.741699°		 ← 1 586.89 m → S 49.496675°
W 22.719726°		 →
↑
1 586.63 m
↓
↑
1 586.63 m
↓
S 49.510944°
W 22.741699°		 ← 1 586.43 m →
2 517 447 m²		 S 49.510944°
W 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436859130859375 y=0.658721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436859130859375 × 214)
    floor (0.436859130859375 × 16384)
    floor (7157.5)     		tx = 7157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658721923828125 × 214)
    floor (0.658721923828125 × 16384)
    floor (10792.5)     		ty = 10792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7157 / 10792 ti = "14/7157/10792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7157/10792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7157 ÷ 214
    7157 ÷ 16384     		x = 0.43682861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10792 ÷ 214
    10792 ÷ 16384     		y = 0.65869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39691753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65869140625 × 2 - 1) × π
    -0.3173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39691753} λ = -0.39691753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.997087512097168))-π/2
    2×atan(0.368952447393887)-π/2
    2×0.353458193760519-π/2
    0.706916387521039-1.57079632675     		φ = -0.86387994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39691753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.741699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86387994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.496675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7157 KachelY 10792 -0.39691753 -0.86387994 -22.741699 -49.496675
    Oben rechts KachelX + 1 7158 KachelY 10792 -0.39653403 -0.86387994 -22.719726 -49.496675
    Unten links KachelX 7157 KachelY + 1 10793 -0.39691753 -0.86412898 -22.741699 -49.510944
    Unten rechts KachelX + 1 7158 KachelY + 1 10793 -0.39653403 -0.86412898 -22.719726 -49.510944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86387994--0.86412898) × R
    0.000249040000000034 × 6371000     		dl = 1586.63384000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86387994--0.86412898) × R
    0.000249040000000034 × 6371000     		dr = 1586.63384000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39691753--0.39653403) × cos(-0.86387994) × R
    0.000383500000000037 × 0.649492180998693 × 6371000     		do = 1586.89028175237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39691753--0.39653403) × cos(-0.86412898) × R
    0.000383500000000037 × 0.649302798745507 × 6371000     		du = 1586.42756816488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86387994)-sin(-0.86412898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649492180998693-0.649302798745507)×R²
    abs(-0.39653403--0.39691753)×0.000189382253185988×R²
    0.000383500000000037×0.000189382253185988×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189382253185988×40589641000000     		ar = 2517446.75588832m²