Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71562 / 63199
↖ ↑ ↗
← N  6.405378°
E 16.550903°		 ← 303.46 m → N  6.405378°
E 16.553650°		 →
↑
303.45 m
↓
↑
303.45 m
↓
N  6.402649°
E 16.550903°		 ← 303.46 m →
92 084 m²		 N  6.402649°
E 16.553650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545978546142578 y=0.482173919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545978546142578 × 217)
    floor (0.545978546142578 × 131072)
    floor (71562.5)     		tx = 71562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482173919677734 × 217)
    floor (0.482173919677734 × 131072)
    floor (63199.5)     		ty = 63199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71562 / 63199 ti = "17/71562/63199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71562/63199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71562 ÷ 217
    71562 ÷ 131072     		x = 0.545974731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63199 ÷ 217
    63199 ÷ 131072     		y = 0.482170104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545974731445312 × 2 - 1) × π
    0.091949462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28886776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482170104980469 × 2 - 1) × π
    0.0356597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.112028534412071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28886776} λ = 0.28886776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112028534412071))-π/2
    2×atan(1.11854477720728)-π/2
    2×0.841295630050974-π/2
    1.68259126010195-1.57079632675     		φ = 0.11179493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28886776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.550903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11179493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.405378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71562 KachelY 63199 0.28886776 0.11179493 16.550903 6.405378
    Oben rechts KachelX + 1 71563 KachelY 63199 0.28891569 0.11179493 16.553650 6.405378
    Unten links KachelX 71562 KachelY + 1 63200 0.28886776 0.11174730 16.550903 6.402649
    Unten rechts KachelX + 1 71563 KachelY + 1 63200 0.28891569 0.11174730 16.553650 6.402649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11179493-0.11174730) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dl = 303.450730000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11179493-0.11174730) × R
    4.76300000000068e-05 × 6371000     		dr = 303.450730000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28886776-0.28891569) × cos(0.11179493) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.9937574525466 × 6371000     		do = 303.455793037444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28886776-0.28891569) × cos(0.11174730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.993762765127179 × 6371000     		du = 303.457415297834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11179493)-sin(0.11174730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9937574525466-0.993762765127179)×R²
    abs(0.28891569-0.28886776)×5.31258057834272e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.31258057834272e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.31258057834272e-06×40589641000000     		ar = 92084.1280754102m²