Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7156 / 10140
↖ ↑ ↗
← S 39.300299°
W 22.763672°		 ← 1 890.65 m → S 39.300299°
W 22.741699°		 →
↑
1 890.40 m
↓
↑
1 890.40 m
↓
S 39.317300°
W 22.763672°		 ← 1 890.19 m →
3 573 656 m²		 S 39.317300°
W 22.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436798095703125 y=0.618927001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436798095703125 × 214)
    floor (0.436798095703125 × 16384)
    floor (7156.5)     		tx = 7156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618927001953125 × 214)
    floor (0.618927001953125 × 16384)
    floor (10140.5)     		ty = 10140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7156 / 10140 ti = "14/7156/10140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7156/10140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7156 ÷ 214
    7156 ÷ 16384     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10140 ÷ 214
    10140 ÷ 16384     		y = 0.618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.747048643678955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747048643678955))-π/2
    2×atan(0.473762734053114)-π/2
    2×0.442438354497125-π/2
    0.884876708994249-1.57079632675     		φ = -0.68591962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68591962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.300299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7156 KachelY 10140 -0.39730102 -0.68591962 -22.763672 -39.300299
    Oben rechts KachelX + 1 7157 KachelY 10140 -0.39691753 -0.68591962 -22.741699 -39.300299
    Unten links KachelX 7156 KachelY + 1 10141 -0.39730102 -0.68621634 -22.763672 -39.317300
    Unten rechts KachelX + 1 7157 KachelY + 1 10141 -0.39691753 -0.68621634 -22.741699 -39.317300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68591962--0.68621634) × R
    0.000296720000000028 × 6371000     		dl = 1890.40312000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68591962--0.68621634) × R
    0.000296720000000028 × 6371000     		dr = 1890.40312000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39691753) × cos(-0.68591962) × R
    0.000383489999999986 × 0.773836900955659 × 6371000     		do = 1890.64976146256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39691753) × cos(-0.68621634) × R
    0.000383489999999986 × 0.773648928921031 × 6371000     		du = 1890.19050540745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68591962)-sin(-0.68621634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773836900955659-0.773648928921031)×R²
    abs(-0.39691753--0.39730102)×0.000187972034628281×R²
    0.000383489999999986×0.000187972034628281×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187972034628281×40589641000000     		ar = 3573656.14457599m²