Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7155 / 9285
↖ ↑ ↗
← N 77.983332°
W140.696411°		 ← 127.16 m → N 77.983332°
W140.690918°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
N 77.982188°
W140.696411°		 ← 127.18 m →
16 172 m²		 N 77.982188°
W140.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109184265136719 y=0.141685485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109184265136719 × 216)
    floor (0.109184265136719 × 65536)
    floor (7155.5)     		tx = 7155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141685485839844 × 216)
    floor (0.141685485839844 × 65536)
    floor (9285.5)     		ty = 9285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7155 / 9285 ti = "16/7155/9285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7155/9285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7155 ÷ 216
    7155 ÷ 65536     		x = 0.109176635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9285 ÷ 216
    9285 ÷ 65536     		y = 0.141677856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109176635742188 × 2 - 1) × π
    -0.781646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45561562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141677856445312 × 2 - 1) × π
    0.716644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25140442755556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45561562} λ = -2.45561562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25140442755556))-π/2
    2×atan(9.50107003527343)-π/2
    2×1.46593111317243-π/2
    2.93186222634486-1.57079632675     		φ = 1.36106590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45561562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.696411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36106590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.983332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7155 KachelY 9285 -2.45561562 1.36106590 -140.696411 77.983332
    Oben rechts KachelX + 1 7156 KachelY 9285 -2.45551975 1.36106590 -140.690918 77.983332
    Unten links KachelX 7155 KachelY + 1 9286 -2.45561562 1.36104594 -140.696411 77.982188
    Unten rechts KachelX + 1 7156 KachelY + 1 9286 -2.45551975 1.36104594 -140.690918 77.982188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36106590-1.36104594) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dl = 127.165160000969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36106590-1.36104594) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dr = 127.165160000969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45561562--2.45551975) × cos(1.36106590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20819624134656 × 6371000     		do = 127.163717974444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45561562--2.45551975) × cos(1.36104594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208215763923091 × 6371000     		du = 127.175642125428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36106590)-sin(1.36104594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20819624134656-0.208215763923091)×R²
    abs(-2.45551975--2.45561562)×1.95225765308171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95225765308171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95225765308171e-05×40589641000000     		ar = 16171.5527114639m²