Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7155 / 10860
↖ ↑ ↗
← S 50.457504°
W 22.785645°		 ← 1 555.51 m → S 50.457504°
W 22.763672°		 →
↑
1 555.22 m
↓
↑
1 555.22 m
↓
S 50.471491°
W 22.785645°		 ← 1 555.05 m →
2 418 816 m²		 S 50.471491°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436737060546875 y=0.662872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436737060546875 × 214)
    floor (0.436737060546875 × 16384)
    floor (7155.5)     		tx = 7155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662872314453125 × 214)
    floor (0.662872314453125 × 16384)
    floor (10860.5)     		ty = 10860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7155 / 10860 ti = "14/7155/10860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7155/10860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7155 ÷ 214
    7155 ÷ 16384     		x = 0.43670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10860 ÷ 214
    10860 ÷ 16384     		y = 0.662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39768452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.32568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02316518549048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39768452} λ = -0.39768452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02316518549048))-π/2
    2×atan(0.359455394688288)-π/2
    2×0.34507337465945-π/2
    0.6901467493189-1.57079632675     		φ = -0.88064958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39768452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.785645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88064958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.457504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7155 KachelY 10860 -0.39768452 -0.88064958 -22.785645 -50.457504
    Oben rechts KachelX + 1 7156 KachelY 10860 -0.39730102 -0.88064958 -22.763672 -50.457504
    Unten links KachelX 7155 KachelY + 1 10861 -0.39768452 -0.88089369 -22.785645 -50.471491
    Unten rechts KachelX + 1 7156 KachelY + 1 10861 -0.39730102 -0.88089369 -22.763672 -50.471491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88064958--0.88089369) × R
    0.000244109999999909 × 6371000     		dl = 1555.22480999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88064958--0.88089369) × R
    0.000244109999999909 × 6371000     		dr = 1555.22480999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39768452--0.39730102) × cos(-0.88064958) × R
    0.000383499999999981 × 0.636650353248546 × 6371000     		do = 1555.5141201095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39768452--0.39730102) × cos(-0.88089369) × R
    0.000383499999999981 × 0.636462088221086 × 6371000     		du = 1555.05413621561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88064958)-sin(-0.88089369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636650353248546-0.636462088221086)×R²
    abs(-0.39730102--0.39768452)×0.000188265027459167×R²
    0.000383499999999981×0.000188265027459167×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188265027459167×40589641000000     		ar = 2418816.47472905m²