Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7154 / 5662
↖ ↑ ↗
← N 48.487487°
W 22.807617°		 ← 1 619.32 m → N 48.487487°
W 22.785645°		 →
↑
1 619.64 m
↓
↑
1 619.64 m
↓
N 48.472921°
W 22.807617°		 ← 1 619.79 m →
2 623 089 m²		 N 48.472921°
W 22.785645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436676025390625 y=0.345611572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436676025390625 × 214)
    floor (0.436676025390625 × 16384)
    floor (7154.5)     		tx = 7154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345611572265625 × 214)
    floor (0.345611572265625 × 16384)
    floor (5662.5)     		ty = 5662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7154 / 5662 ti = "14/7154/5662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7154/5662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7154 ÷ 214
    7154 ÷ 16384     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5662 ÷ 214
    5662 ÷ 16384     		y = 0.3455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    0.308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970242848309937))-π/2
    2×atan(2.6385851575009)-π/2
    2×1.20853130593336-π/2
    2.41706261186673-1.57079632675     		φ = 0.84626629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84626629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.487487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7154 KachelY 5662 -0.39806801 0.84626629 -22.807617 48.487487
    Oben rechts KachelX + 1 7155 KachelY 5662 -0.39768452 0.84626629 -22.785645 48.487487
    Unten links KachelX 7154 KachelY + 1 5663 -0.39806801 0.84601207 -22.807617 48.472921
    Unten rechts KachelX + 1 7155 KachelY + 1 5663 -0.39768452 0.84601207 -22.785645 48.472921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84626629-0.84601207) × R
    0.000254219999999972 × 6371000     		dl = 1619.63561999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84626629-0.84601207) × R
    0.000254219999999972 × 6371000     		dr = 1619.63561999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39768452) × cos(0.84626629) × R
    0.000383490000000042 × 0.662783602257093 × 6371000     		do = 1619.32269960418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39768452) × cos(0.84601207) × R
    0.000383490000000042 × 0.662973943567427 × 6371000     		du = 1619.78774430874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84626629)-sin(0.84601207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662783602257093-0.662973943567427)×R²
    abs(-0.39768452--0.39806801)×0.000190341310334019×R²
    0.000383490000000042×0.000190341310334019×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190341310334019×40589641000000     		ar = 2623089.34016382m²