Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71531 / 63137
↖ ↑ ↗
← N  6.574574°
E 16.465759°		 ← 303.42 m → N  6.574574°
E 16.468506°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.571846°
E 16.465759°		 ← 303.42 m →
92 053 m²		 N  6.571846°
E 16.468506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545742034912109 y=0.481700897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545742034912109 × 217)
    floor (0.545742034912109 × 131072)
    floor (71531.5)     		tx = 71531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481700897216797 × 217)
    floor (0.481700897216797 × 131072)
    floor (63137.5)     		ty = 63137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71531 / 63137 ti = "17/71531/63137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71531/63137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71531 ÷ 217
    71531 ÷ 131072     		x = 0.545738220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63137 ÷ 217
    63137 ÷ 131072     		y = 0.481697082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545738220214844 × 2 - 1) × π
    0.0914764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28738171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481697082519531 × 2 - 1) × π
    0.0366058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.115000622188515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28738171} λ = 0.28738171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115000622188515))-π/2
    2×atan(1.12187413558892)-π/2
    2×0.842772150292223-π/2
    1.68554430058445-1.57079632675     		φ = 0.11474797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28738171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.465759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11474797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.574574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71531 KachelY 63137 0.28738171 0.11474797 16.465759 6.574574
    Oben rechts KachelX + 1 71532 KachelY 63137 0.28742965 0.11474797 16.468506 6.574574
    Unten links KachelX 71531 KachelY + 1 63138 0.28738171 0.11470035 16.465759 6.571846
    Unten rechts KachelX + 1 71532 KachelY + 1 63138 0.28742965 0.11470035 16.468506 6.571846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11474797-0.11470035) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11474797-0.11470035) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28738171-0.28742965) × cos(0.11474797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993423672372004 × 6371000     		do = 303.417160267538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28738171-0.28742965) × cos(0.11470035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993429123560359 × 6371000     		du = 303.418825200775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11474797)-sin(0.11470035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993423672372004-0.993429123560359)×R²
    abs(0.28742965-0.28738171)×5.45118835504343e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.45118835504343e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.45118835504343e-06×40589641000000     		ar = 92053.0806474062m²