Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7153 / 9263
↖ ↑ ↗
← N 61.359880°
W101.414795°		 ← 585.54 m → N 61.359880°
W101.403808°		 →
↑
585.56 m
↓
↑
585.56 m
↓
N 61.354614°
W101.414795°		 ← 585.64 m →
342 897 m²		 N 61.354614°
W101.403808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218307495117188 y=0.282699584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218307495117188 × 215)
    floor (0.218307495117188 × 32768)
    floor (7153.5)     		tx = 7153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282699584960938 × 215)
    floor (0.282699584960938 × 32768)
    floor (9263.5)     		ty = 9263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7153 / 9263 ti = "15/7153/9263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7153/9263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7153 ÷ 215
    7153 ÷ 32768     		x = 0.218292236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9263 ÷ 215
    9263 ÷ 32768     		y = 0.282684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.56341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.77002208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282684326171875 × 2 - 1) × π
    0.43463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.36543464877768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77002208} λ = -1.77002208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36543464877768))-π/2
    2×atan(3.91742538616293)-π/2
    2×1.3208641293637-π/2
    2.6417282587274-1.57079632675     		φ = 1.07093193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77002208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.414795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07093193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.359880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7153 KachelY 9263 -1.77002208 1.07093193 -101.414795 61.359880
    Oben rechts KachelX + 1 7154 KachelY 9263 -1.76983033 1.07093193 -101.403808 61.359880
    Unten links KachelX 7153 KachelY + 1 9264 -1.77002208 1.07084002 -101.414795 61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 7154 KachelY + 1 9264 -1.76983033 1.07084002 -101.403808 61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07093193-1.07084002) × R
    9.19100000000839e-05 × 6371000     		dl = 585.558610000534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07093193-1.07084002) × R
    9.19100000000839e-05 × 6371000     		dr = 585.558610000534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77002208--1.76983033) × cos(1.07093193) × R
    0.000191749999999935 × 0.479306531188539 × 6371000     		do = 585.53967128107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77002208--1.76983033) × cos(1.07084002) × R
    0.000191749999999935 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 585.638211834244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07093193)-sin(1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479306531188539-0.479387193751709)×R²
    abs(-1.76983033--1.77002208)×8.06625631695201e-05×R²
    0.000191749999999935×8.06625631695201e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.06625631695201e-05×40589641000000     		ar = 342896.64689105m²