Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7153 / 5293
↖ ↑ ↗
← N 53.579461°
W 22.829590°		 ← 1 450.59 m → N 53.579461°
W 22.807617°		 →
↑
1 450.74 m
↓
↑
1 450.74 m
↓
N 53.566414°
W 22.829590°		 ← 1 451.04 m →
2 104 758 m²		 N 53.566414°
W 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436614990234375 y=0.323089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436614990234375 × 214)
    floor (0.436614990234375 × 16384)
    floor (7153.5)     		tx = 7153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323089599609375 × 214)
    floor (0.323089599609375 × 16384)
    floor (5293.5)     		ty = 5293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7153 / 5293 ti = "14/7153/5293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7153/5293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7153 ÷ 214
    7153 ÷ 16384     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5293 ÷ 214
    5293 ÷ 16384     		y = 0.32305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32305908203125 × 2 - 1) × π
    0.3538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11175257598834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11175257598834))-π/2
    2×atan(3.03968100087153)-π/2
    2×1.25296717064359-π/2
    2.50593434128718-1.57079632675     		φ = 0.93513801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93513801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.579461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7153 KachelY 5293 -0.39845151 0.93513801 -22.829590 53.579461
    Oben rechts KachelX + 1 7154 KachelY 5293 -0.39806801 0.93513801 -22.807617 53.579461
    Unten links KachelX 7153 KachelY + 1 5294 -0.39845151 0.93491030 -22.829590 53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 7154 KachelY + 1 5294 -0.39806801 0.93491030 -22.807617 53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93513801-0.93491030) × R
    0.000227709999999992 × 6371000     		dl = 1450.74040999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93513801-0.93491030) × R
    0.000227709999999992 × 6371000     		dr = 1450.74040999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39806801) × cos(0.93513801) × R
    0.000383499999999981 × 0.593707378000488 × 6371000     		do = 1450.59247195989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39806801) × cos(0.93491030) × R
    0.000383499999999981 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 1451.04012583508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93513801)-sin(0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593707378000488-0.593890596522316)×R²
    abs(-0.39806801--0.39845151)×0.000183218521827899×R²
    0.000383499999999981×0.000183218521827899×6371000²
    0.000383499999999981×0.000183218521827899×40589641000000     		ar = 2104757.84139194m²