Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7153 / 1137
N 78.197578°
E134.340820°
← 999.47 m → N 78.197578°
E134.384765°

999.80 m

999.80 m
N 78.188586°
E134.340820°
← 1 000.22 m →
999 647 m²
N 78.188586°
E134.384765°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87322998046875 y=0.13885498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87322998046875 × 213)
    floor (0.87322998046875 × 8192)
    floor (7153.5)
    tx = 7153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13885498046875 × 213)
    floor (0.13885498046875 × 8192)
    floor (1137.5)
    ty = 1137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7153 / 1137 ti = "13/7153/1137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7153/1137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7153 ÷ 213
    7153 ÷ 8192
    x = 0.8731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1137 ÷ 213
    1137 ÷ 8192
    y = 0.1387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.8731689453125 × 2 - 1) × π
    0.746337890625 × 3.1415926535
    Λ = 2.34468963
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.1387939453125 × 2 - 1) × π
    0.722412109375 × 3.1415926535
    Φ = 2.26952457561194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34468963} λ = 2.34468963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26952457561194))-π/2
    2×atan(9.67480008460016)-π/2
    2×1.46780076518254-π/2
    2.93560153036508-1.57079632675
    φ = 1.36480520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34468963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36480520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.197578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7153 KachelY 1137 2.34468963 1.36480520 134.340820 78.197578
    Oben rechts KachelX + 1 7154 KachelY 1137 2.34545662 1.36480520 134.384765 78.197578
    Unten links KachelX 7153 KachelY + 1 1138 2.34468963 1.36464827 134.340820 78.188586
    Unten rechts KachelX + 1 7154 KachelY + 1 1138 2.34545662 1.36464827 134.384765 78.188586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.36480520-1.36464827) × R
    0.000156929999999944 × 6371000
    dl = 999.801029999644m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.36480520-1.36464827) × R
    0.000156929999999944 × 6371000
    dr = 999.801029999644m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.34468963-2.34545662) × cos(1.36480520) × R
    0.000766990000000245 × 0.204537433336209 × 6371000
    do = 999.470795551528m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.34468963-2.34545662) × cos(1.36464827) × R
    0.000766990000000245 × 0.204691043119513 × 6371000
    du = 1000.22140872692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.36480520)-sin(1.36464827))×
    abs(λ12)×abs(0.204537433336209-0.204691043119513)×
    abs(2.34545662-2.34468963)×0.000153609783303477×
    0.000766990000000245×0.000153609783303477×6371000²
    0.000766990000000245×0.000153609783303477×40589641000000
    ar = 999647.164810402m²