Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7153 / 10861
↖ ↑ ↗
← S 50.471491°
W 22.829590°		 ← 1 555.05 m → S 50.471491°
W 22.807617°		 →
↑
1 554.84 m
↓
↑
1 554.84 m
↓
S 50.485474°
W 22.829590°		 ← 1 554.59 m →
2 417 507 m²		 S 50.485474°
W 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436614990234375 y=0.662933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436614990234375 × 214)
    floor (0.436614990234375 × 16384)
    floor (7153.5)     		tx = 7153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662933349609375 × 214)
    floor (0.662933349609375 × 16384)
    floor (10861.5)     		ty = 10861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7153 / 10861 ti = "14/7153/10861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7153/10861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7153 ÷ 214
    7153 ÷ 16384     		x = 0.43658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10861 ÷ 214
    10861 ÷ 16384     		y = 0.66290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39845151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.3258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02354868068744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39845151} λ = -0.39845151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02354868068744))-π/2
    2×atan(0.35931757169982)-π/2
    2×0.344951316533199-π/2
    0.689902633066398-1.57079632675     		φ = -0.88089369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39845151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.829590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88089369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.471491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7153 KachelY 10861 -0.39845151 -0.88089369 -22.829590 -50.471491
    Oben rechts KachelX + 1 7154 KachelY 10861 -0.39806801 -0.88089369 -22.807617 -50.471491
    Unten links KachelX 7153 KachelY + 1 10862 -0.39845151 -0.88113774 -22.829590 -50.485474
    Unten rechts KachelX + 1 7154 KachelY + 1 10862 -0.39806801 -0.88113774 -22.807617 -50.485474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88089369--0.88113774) × R
    0.000244050000000051 × 6371000     		dl = 1554.84255000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88089369--0.88113774) × R
    0.000244050000000051 × 6371000     		dr = 1554.84255000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39845151--0.39806801) × cos(-0.88089369) × R
    0.000383499999999981 × 0.636462088221086 × 6371000     		do = 1555.05413621561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39845151--0.39806801) × cos(-0.88113774) × R
    0.000383499999999981 × 0.636273831554846 × 6371000     		du = 1554.5941727505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88089369)-sin(-0.88113774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636462088221086-0.636273831554846)×R²
    abs(-0.39806801--0.39845151)×0.000188256666240338×R²
    0.000383499999999981×0.000188256666240338×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188256666240338×40589641000000     		ar = 2417506.7651561m²