Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7152 / 9264
↖ ↑ ↗
← N 61.354614°
W101.425781°		 ← 585.64 m → N 61.354614°
W101.414795°		 →
↑
585.69 m
↓
↑
585.69 m
↓
N 61.349346°
W101.425781°		 ← 585.74 m →
343 029 m²		 N 61.349346°
W101.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218276977539062 y=0.282730102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218276977539062 × 215)
    floor (0.218276977539062 × 32768)
    floor (7152.5)     		tx = 7152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282730102539062 × 215)
    floor (0.282730102539062 × 32768)
    floor (9264.5)     		ty = 9264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7152 / 9264 ti = "15/7152/9264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7152/9264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7152 ÷ 215
    7152 ÷ 32768     		x = 0.21826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9264 ÷ 215
    9264 ÷ 32768     		y = 0.28271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21826171875 × 2 - 1) × π
    -0.5634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77021383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28271484375 × 2 - 1) × π
    0.4345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3652429011792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77021383} λ = -1.77021383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3652429011792))-π/2
    2×atan(3.91667430126458)-π/2
    2×1.32081817255893-π/2
    2.64163634511786-1.57079632675     		φ = 1.07084002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77021383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07084002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.354614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7152 KachelY 9264 -1.77021383 1.07084002 -101.425781 61.354614
    Oben rechts KachelX + 1 7153 KachelY 9264 -1.77002208 1.07084002 -101.414795 61.354614
    Unten links KachelX 7152 KachelY + 1 9265 -1.77021383 1.07074809 -101.425781 61.349346
    Unten rechts KachelX + 1 7153 KachelY + 1 9265 -1.77002208 1.07074809 -101.414795 61.349346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07084002-1.07074809) × R
    9.19299999999623e-05 × 6371000     		dl = 585.68602999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07084002-1.07074809) × R
    9.19299999999623e-05 × 6371000     		dr = 585.68602999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77021383--1.77002208) × cos(1.07084002) × R
    0.000191750000000157 × 0.479387193751709 × 6371000     		do = 585.638211834922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77021383--1.77002208) × cos(1.07074809) × R
    0.000191750000000157 × 0.479467869816468 × 6371000     		du = 585.736768882168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07084002)-sin(1.07074809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479387193751709-0.479467869816468)×R²
    abs(-1.77002208--1.77021383)×8.06760647597549e-05×R²
    0.000191750000000157×8.06760647597549e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.06760647597549e-05×40589641000000     		ar = 343028.981290358m²