Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7152 / 5660
↖ ↑ ↗
← N 48.516604°
W 22.851562°		 ← 1 618.39 m → N 48.516604°
W 22.829590°		 →
↑
1 618.68 m
↓
↑
1 618.68 m
↓
N 48.502047°
W 22.851562°		 ← 1 618.86 m →
2 620 036 m²		 N 48.502047°
W 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436553955078125 y=0.345489501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436553955078125 × 214)
    floor (0.436553955078125 × 16384)
    floor (7152.5)     		tx = 7152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345489501953125 × 214)
    floor (0.345489501953125 × 16384)
    floor (5660.5)     		ty = 5660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7152 / 5660 ti = "14/7152/5660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7152/5660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7152 ÷ 214
    7152 ÷ 16384     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5660 ÷ 214
    5660 ÷ 16384     		y = 0.345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345458984375 × 2 - 1) × π
    0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971009838703857))-π/2
    2×atan(2.64060970327457)-π/2
    2×1.20878540727582-π/2
    2.41757081455165-1.57079632675     		φ = 0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7152 KachelY 5660 -0.39883500 0.84677449 -22.851562 48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 7153 KachelY 5660 -0.39845151 0.84677449 -22.829590 48.516604
    Unten links KachelX 7152 KachelY + 1 5661 -0.39883500 0.84652042 -22.851562 48.502047
    Unten rechts KachelX + 1 7153 KachelY + 1 5661 -0.39845151 0.84652042 -22.829590 48.502047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84677449-0.84652042) × R
    0.000254069999999995 × 6371000     		dl = 1618.67996999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84677449-0.84652042) × R
    0.000254069999999995 × 6371000     		dr = 1618.67996999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39845151) × cos(0.84677449) × R
    0.000383489999999986 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 1618.39273554402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39845151) × cos(0.84652042) × R
    0.000383489999999986 × 0.662593285520656 × 6371000     		du = 1618.8577149387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84677449)-sin(0.84652042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.662593285520656)×R²
    abs(-0.39845151--0.39883500)×0.000190314579209705×R²
    0.000383489999999986×0.000190314579209705×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190314579209705×40589641000000     		ar = 2620036.2451292m²