Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71515 / 63100
↖ ↑ ↗
← N  6.675520°
E 16.421814°		 ← 303.36 m → N  6.675520°
E 16.424561°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.672791°
E 16.421814°		 ← 303.36 m →
92 034 m²		 N  6.672791°
E 16.424561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545619964599609 y=0.481418609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545619964599609 × 217)
    floor (0.545619964599609 × 131072)
    floor (71515.5)     		tx = 71515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481418609619141 × 217)
    floor (0.481418609619141 × 131072)
    floor (63100.5)     		ty = 63100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71515 / 63100 ti = "17/71515/63100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71515/63100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71515 ÷ 217
    71515 ÷ 131072     		x = 0.545616149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63100 ÷ 217
    63100 ÷ 131072     		y = 0.481414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545616149902344 × 2 - 1) × π
    0.0912322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28661472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481414794921875 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.116774287474457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28661472} λ = 0.28661472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116774287474457))-π/2
    2×atan(1.12386573048767)-π/2
    2×0.843653060927121-π/2
    1.68730612185424-1.57079632675     		φ = 0.11650980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28661472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.421814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11650980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.675520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71515 KachelY 63100 0.28661472 0.11650980 16.421814 6.675520
    Oben rechts KachelX + 1 71516 KachelY 63100 0.28666266 0.11650980 16.424561 6.675520
    Unten links KachelX 71515 KachelY + 1 63101 0.28661472 0.11646218 16.421814 6.672791
    Unten rechts KachelX + 1 71516 KachelY + 1 63101 0.28666266 0.11646218 16.424561 6.672791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11650980-0.11646218) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11650980-0.11646218) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28661472-0.28666266) × cos(0.11650980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993220407610374 × 6371000     		do = 303.355077977652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28661472-0.28666266) × cos(0.11646218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993225942137056 × 6371000     		du = 303.35676836456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11650980)-sin(0.11646218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993220407610374-0.993225942137056)×R²
    abs(0.28666266-0.28661472)×5.53452668194954e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.53452668194954e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.53452668194954e-06×40589641000000     		ar = 92034.2495476158m²