Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71514 / 63101
↖ ↑ ↗
← N  6.672791°
E 16.419068°		 ← 303.29 m → N  6.672791°
E 16.421814°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.670064°
E 16.419068°		 ← 303.30 m →
91 996 m²		 N  6.670064°
E 16.421814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545612335205078 y=0.481426239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545612335205078 × 217)
    floor (0.545612335205078 × 131072)
    floor (71514.5)     		tx = 71514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481426239013672 × 217)
    floor (0.481426239013672 × 131072)
    floor (63101.5)     		ty = 63101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71514 / 63101 ti = "17/71514/63101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71514/63101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71514 ÷ 217
    71514 ÷ 131072     		x = 0.545608520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63101 ÷ 217
    63101 ÷ 131072     		y = 0.481422424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545608520507812 × 2 - 1) × π
    0.091217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28656679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481422424316406 × 2 - 1) × π
    0.0371551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.116726350574837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28656679} λ = 0.28656679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116726350574837))-π/2
    2×atan(1.12381185714023)-π/2
    2×0.843629254907297-π/2
    1.68725850981459-1.57079632675     		φ = 0.11646218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28656679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.419068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11646218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.672791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71514 KachelY 63101 0.28656679 0.11646218 16.419068 6.672791
    Oben rechts KachelX + 1 71515 KachelY 63101 0.28661472 0.11646218 16.421814 6.672791
    Unten links KachelX 71514 KachelY + 1 63102 0.28656679 0.11641457 16.419068 6.670064
    Unten rechts KachelX + 1 71515 KachelY + 1 63102 0.28661472 0.11641457 16.421814 6.670064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11646218-0.11641457) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11646218-0.11641457) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28656679-0.28661472) × cos(0.11646218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993225942137056 × 6371000     		do = 303.293489939468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28656679-0.28661472) × cos(0.11641457) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993231473249917 × 6371000     		du = 303.29517893132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11646218)-sin(0.11641457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993225942137056-0.993231473249917)×R²
    abs(0.28661472-0.28656679)×5.53111286083485e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.53111286083485e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.53111286083485e-06×40589641000000     		ar = 91996.2414425831m²