Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71513 / 63179
↖ ↑ ↗
← N  6.459964°
E 16.416321°		 ← 303.49 m → N  6.459964°
E 16.419068°		 →
↑
303.51 m
↓
↑
303.51 m
↓
N  6.457234°
E 16.416321°		 ← 303.49 m →
92 113 m²		 N  6.457234°
E 16.419068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545604705810547 y=0.482021331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545604705810547 × 217)
    floor (0.545604705810547 × 131072)
    floor (71513.5)     		tx = 71513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482021331787109 × 217)
    floor (0.482021331787109 × 131072)
    floor (63179.5)     		ty = 63179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71513 / 63179 ti = "17/71513/63179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71513/63179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71513 ÷ 217
    71513 ÷ 131072     		x = 0.545600891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63179 ÷ 217
    63179 ÷ 131072     		y = 0.482017517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545600891113281 × 2 - 1) × π
    0.0912017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28651885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482017517089844 × 2 - 1) × π
    0.0359649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.112987272404472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28651885} λ = 0.28651885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112987272404472))-π/2
    2×atan(1.11961768281689)-π/2
    2×0.841771981015778-π/2
    1.68354396203156-1.57079632675     		φ = 0.11274764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28651885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.416321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11274764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.459964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71513 KachelY 63179 0.28651885 0.11274764 16.416321 6.459964
    Oben rechts KachelX + 1 71514 KachelY 63179 0.28656679 0.11274764 16.419068 6.459964
    Unten links KachelX 71513 KachelY + 1 63180 0.28651885 0.11270000 16.416321 6.457234
    Unten rechts KachelX + 1 71514 KachelY + 1 63180 0.28656679 0.11270000 16.419068 6.457234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11274764-0.11270000) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dl = 303.51444000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11274764-0.11270000) × R
    4.76400000000016e-05 × 6371000     		dr = 303.51444000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28651885-0.28656679) × cos(0.11274764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993650715139585 × 6371000     		do = 303.48650497319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28651885-0.28656679) × cos(0.11270000) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993656073936788 × 6371000     		du = 303.488141687791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11274764)-sin(0.11270000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993650715139585-0.993656073936788)×R²
    abs(0.28656679-0.28651885)×5.35879720253707e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.35879720253707e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.35879720253707e-06×40589641000000     		ar = 92112.7850051837m²