Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7151 / 5659
↖ ↑ ↗
← N 48.531157°
W 22.873535°		 ← 1 617.97 m → N 48.531157°
W 22.851562°		 →
↑
1 618.17 m
↓
↑
1 618.17 m
↓
N 48.516604°
W 22.873535°		 ← 1 618.43 m →
2 618 527 m²		 N 48.516604°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436492919921875 y=0.345428466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436492919921875 × 214)
    floor (0.436492919921875 × 16384)
    floor (7151.5)     		tx = 7151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345428466796875 × 214)
    floor (0.345428466796875 × 16384)
    floor (5659.5)     		ty = 5659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7151 / 5659 ti = "14/7151/5659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7151/5659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7151 ÷ 214
    7151 ÷ 16384     		x = 0.43646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5659 ÷ 214
    5659 ÷ 16384     		y = 0.34539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.1270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39921850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34539794921875 × 2 - 1) × π
    0.3092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.971393333900818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39921850} λ = -0.39921850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971393333900818))-π/2
    2×atan(2.64162255861299)-π/2
    2×1.20891240321019-π/2
    2.41782480642038-1.57079632675     		φ = 0.84702848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39921850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84702848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.531157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7151 KachelY 5659 -0.39921850 0.84702848 -22.873535 48.531157
    Oben rechts KachelX + 1 7152 KachelY 5659 -0.39883500 0.84702848 -22.851562 48.531157
    Unten links KachelX 7151 KachelY + 1 5660 -0.39921850 0.84677449 -22.873535 48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 7152 KachelY + 1 5660 -0.39883500 0.84677449 -22.851562 48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84702848-0.84677449) × R
    0.000253989999999926 × 6371000     		dl = 1618.17028999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84702848-0.84677449) × R
    0.000253989999999926 × 6371000     		dr = 1618.17028999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39921850--0.39883500) × cos(0.84702848) × R
    0.000383499999999981 × 0.662212673548365 × 6371000     		do = 1617.96998770816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39921850--0.39883500) × cos(0.84677449) × R
    0.000383499999999981 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 1618.43493723728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84702848)-sin(0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662212673548365-0.662402970941446)×R²
    abs(-0.39883500--0.39921850)×0.00019029739308063×R²
    0.000383499999999981×0.00019029739308063×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019029739308063×40589641000000     		ar = 2618527.16205451m²