Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71506 / 63110
↖ ↑ ↗
← N  6.648239°
E 16.397095°		 ← 303.37 m → N  6.648239°
E 16.399841°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.645511°
E 16.397095°		 ← 303.37 m →
92 020 m²		 N  6.645511°
E 16.399841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545551300048828 y=0.481494903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545551300048828 × 217)
    floor (0.545551300048828 × 131072)
    floor (71506.5)     		tx = 71506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481494903564453 × 217)
    floor (0.481494903564453 × 131072)
    floor (63110.5)     		ty = 63110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71506 / 63110 ti = "17/71506/63110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71506/63110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71506 ÷ 217
    71506 ÷ 131072     		x = 0.545547485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63110 ÷ 217
    63110 ÷ 131072     		y = 0.481491088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545547485351562 × 2 - 1) × π
    0.091094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28618329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481491088867188 × 2 - 1) × π
    0.037017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.116294918478256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28618329} λ = 0.28618329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116294918478256))-π/2
    2×atan(1.12332711320911)-π/2
    2×0.843414994768031-π/2
    1.68682998953606-1.57079632675     		φ = 0.11603366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28618329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.397095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11603366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.648239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71506 KachelY 63110 0.28618329 0.11603366 16.397095 6.648239
    Oben rechts KachelX + 1 71507 KachelY 63110 0.28623123 0.11603366 16.399841 6.648239
    Unten links KachelX 71506 KachelY + 1 63111 0.28618329 0.11598605 16.397095 6.645511
    Unten rechts KachelX + 1 71507 KachelY + 1 63111 0.28623123 0.11598605 16.399841 6.645511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11603366-0.11598605) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11603366-0.11598605) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28618329-0.28623123) × cos(0.11603366) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993275644575643 × 6371000     		do = 303.371948768645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28618329-0.28623123) × cos(0.11598605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993281155424306 × 6371000     		du = 303.373631923676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11603366)-sin(0.11598605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993275644575643-0.993281155424306)×R²
    abs(0.28623123-0.28618329)×5.51084866329266e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.51084866329266e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.51084866329266e-06×40589641000000     		ar = 92020.0389491254m²