Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71503 / 63119
↖ ↑ ↗
← N  6.623685°
E 16.388855°		 ← 303.39 m → N  6.623685°
E 16.391602°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.620957°
E 16.388855°		 ← 303.39 m →
92 044 m²		 N  6.620957°
E 16.391602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545528411865234 y=0.481563568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545528411865234 × 217)
    floor (0.545528411865234 × 131072)
    floor (71503.5)     		tx = 71503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481563568115234 × 217)
    floor (0.481563568115234 × 131072)
    floor (63119.5)     		ty = 63119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71503 / 63119 ti = "17/71503/63119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71503/63119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71503 ÷ 217
    71503 ÷ 131072     		x = 0.545524597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63119 ÷ 217
    63119 ÷ 131072     		y = 0.481559753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545524597167969 × 2 - 1) × π
    0.0910491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28603948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481559753417969 × 2 - 1) × π
    0.0368804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.115863486381676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28603948} λ = 0.28603948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115863486381676))-π/2
    2×atan(1.12284257836697)-π/2
    2×0.84320072392655-π/2
    1.6864014478531-1.57079632675     		φ = 0.11560512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28603948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.388855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11560512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.623685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71503 KachelY 63119 0.28603948 0.11560512 16.388855 6.623685
    Oben rechts KachelX + 1 71504 KachelY 63119 0.28608742 0.11560512 16.391602 6.623685
    Unten links KachelX 71503 KachelY + 1 63120 0.28603948 0.11555750 16.388855 6.620957
    Unten rechts KachelX + 1 71504 KachelY + 1 63120 0.28608742 0.11555750 16.391602 6.620957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11560512-0.11555750) × R
    4.76200000000121e-05 × 6371000     		dl = 303.387020000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11560512-0.11555750) × R
    4.76200000000121e-05 × 6371000     		dr = 303.387020000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28603948-0.28608742) × cos(0.11560512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993325166926588 × 6371000     		do = 303.387074168978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28603948-0.28608742) × cos(0.11555750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9933306586621 × 6371000     		du = 303.38875148636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11560512)-sin(0.11555750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993325166926588-0.9933306586621)×R²
    abs(0.28608742-0.28603948)×5.49173551278592e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.49173551278592e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.49173551278592e-06×40589641000000     		ar = 92043.9547942088m²