Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71501 / 63115
↖ ↑ ↗
← N  6.634599°
E 16.383362°		 ← 303.32 m → N  6.634599°
E 16.386108°		 →
↑
303.39 m
↓
↑
303.39 m
↓
N  6.631870°
E 16.383362°		 ← 303.32 m →
92 023 m²		 N  6.631870°
E 16.386108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545513153076172 y=0.481533050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545513153076172 × 217)
    floor (0.545513153076172 × 131072)
    floor (71501.5)     		tx = 71501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481533050537109 × 217)
    floor (0.481533050537109 × 131072)
    floor (63115.5)     		ty = 63115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71501 / 63115 ti = "17/71501/63115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71501/63115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71501 ÷ 217
    71501 ÷ 131072     		x = 0.545509338378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63115 ÷ 217
    63115 ÷ 131072     		y = 0.481529235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545509338378906 × 2 - 1) × π
    0.0910186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28594361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481529235839844 × 2 - 1) × π
    0.0369415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.116055233980156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28594361} λ = 0.28594361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116055233980156))-π/2
    2×atan(1.12305790137802)-π/2
    2×0.843295956730429-π/2
    1.68659191346086-1.57079632675     		φ = 0.11579559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28594361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.383362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11579559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.634599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71501 KachelY 63115 0.28594361 0.11579559 16.383362 6.634599
    Oben rechts KachelX + 1 71502 KachelY 63115 0.28599154 0.11579559 16.386108 6.634599
    Unten links KachelX 71501 KachelY + 1 63116 0.28594361 0.11574797 16.383362 6.631870
    Unten rechts KachelX + 1 71502 KachelY + 1 63116 0.28599154 0.11574797 16.386108 6.631870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11579559-0.11574797) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dl = 303.387019999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11579559-0.11574797) × R
    4.76199999999982e-05 × 6371000     		dr = 303.387019999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28594361-0.28599154) × cos(0.11579559) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.99330317861475 × 6371000     		do = 303.317075027087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28594361-0.28599154) × cos(0.11574797) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993308679359827 × 6371000     		du = 303.31875474577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11579559)-sin(0.11574797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99330317861475-0.993308679359827)×R²
    abs(0.28599154-0.28594361)×5.50074507732479e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.50074507732479e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.50074507732479e-06×40589641000000     		ar = 92022.7183273961m²